运用公式法因式分解

因式分解(公式法)

一、学习指导

1、代数中常用的乘法公式有：

平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2

完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 2

2、因式分解的公式：

将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：

平方差公式：a 2－b 2

＝(a+b)(a －b)

完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)2

3、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。 二、例题分析：

例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16

解：（1）4a 2－9b 2

＝(2a)2－(3b)2

＝(2a+3b)(2a －3b)

解：（2）－25a 2y 4+16b 16

＝16b 16－25a 2y 4

＝(4b 8)2－(5ay 2)2

＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2

)

注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2

例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2

（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2

分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。（2）题的

两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。（3）题也是两项式，9x 4和y 4

是公式中的a 和b 。（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。

解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10

＝9(4b 4x 8－c 6y 10

)

＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2

]

＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5

)

注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。

（2）(x+2y)2－(x －2y)2

＝[(x+2y)+(x －2y)][(x+2y)－(x －2y)] ＝(x+2y+x －2y)(x+2y －x+2y) ＝(2x)(4y)＝8xy

注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy ，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。 （3）8188y x

＝(9x 4)2－(y 4)2

＝(9x 4+y 4)(9x 4－y 4

)

＝(9x 4+y 4)[(3x 2)2－(y 2)2

]

＝(9x 4+y 4)[(3x 2+y 2)(3x 2－y 2

)]

＝(9x 4+y 4)(3x 2+y 2)(3x 2－y 2

)

注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x 4－y 4还可以再用平方差公式分解②3x 2－y 2

在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。

（4）(3a+2b)2－(2a+3b)2

＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)] ＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b －2a －3b) ＝(5a+5b)(a －b)

＝5(a+b)(a －b)

注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。

例3、分解因式： (2m －n)2－121(m+n)2 －4(m+n)2+25(m －2n)2

分析：（1）题的第二项应写成[11(m+n)]2

就可以用平方差公式分解，2m －n 和11(m+n)为公式中的a 和b ，（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a 和b 分别为5(m －2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。

解：（1）(2m －n)2－121(m+n)2

＝(2m －n)2－[11(m+n)]2

＝[(2m －n)+11(m+n)][(2m －n)－11(m+n)] ＝(2m －n+11m+11n)(2m －n －11m －11n) ＝(13m+10n)(－9m －12n) ＝－3(13m+10n)(3m+4n)

注： （－9m －12n ）这项应提取公因式－3

（2）－4(m+n)2+25(m －2n)2

＝25(m －2n)2－4(m+n)2

＝[5(m －2n)]2－[2(m+n)]2

＝[5(m －2n)+2(m+n)][5(m －2n)－2(m+n)] ＝(5m －10n+2m+2n)(5m －10n －2m －2n) ＝(7m －8n)(3m －12n) ＝3(7m －8n)(m －4n)

注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如－2(m+n)＝－2m －2n≠－2m+2n

例4.分解因式: (1)5a b －ab (2)a 4(m+n)－b 4

(m+n) (3)－

16

1

11-++m m a a 分析：这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解为止。

解：（1）a 5

b －ab

＝ab(a 4

－1)

＝ab(a 2+1)(a 2

－1)

＝ab(a 2

+1)(a+1)(a －1)

注：a 2+1在有理数范围不能分解，a 2

－1可以分解。

（2）a 4(m+n)－b 4

(m+n)

＝(m+n)(a 4－b 4

)

＝(m+n)(a 2+b 2)(a 2－b 2

)

＝(m+n)(a 2+b 2

)(a+b)(a －b)

（3）－

16

111

-++m m a a ＝－16

11-m a (a 2

－16)

＝－16

11

-m a (a+4)(a －4)

注：提取分数公因式－16

1

便于后面用公式法分解。

例5、计算1.22222×9－1.33332

×4

分析:这是数字的计算问题，若按运算顺序一步步做很繁，我们认真观察，寻求简便算法，发现题中的两项，每一项都可以写成一个数的完全平方，再可以用平方差公式进行因式分解，这样可以使计算简化。

解：1.22222×9－1.33332

×4

＝(1.2222×3)2－(1.3333×2)2

＝(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3－1.3333×2) ＝(3.6666+2.6666)(3.6666－2.6666) ＝6.3332×1＝6.3332

例6、若(248

－1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。