1.2.1-2命题与量词全称量词命题与存在量词命题的否定

1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定

最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.

知识点一命题

1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系

(1)四种命题

若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.

(2)四种命题间的关系

知识点二全称量词和全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀

全称量词命

题

含有全称量词的命题

形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀

x∈M，p(x)”

知识点三存在量词和存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃

存在量词命

题

含有存在量词的命题

形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃

x∈M，p(x)”

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

答案：C

4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.

解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A、∠B都是锐角. 否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”

题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]

例1判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．

(1)对任意x∈R，x2>0；

(2)有些无理数的平方也是无理数；

(3)对顶角相等；

(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；

(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；

(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．

【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.

正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．

方法归纳

(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；

(2)对任意实数x1，x2，若x1

(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.

x3－x2＋1>0.故选D.

(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.

答案：(1)D(2)D

∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．

∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．

课时作业5

一、选择题

1．下列语句不是存在量词命题的是()

A．有的无理数的平方是有理数

B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于任意x∈Z,2x是偶数

D．存在x∈R,2x＋1是奇数

解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．

答案：C

2．判断下列命题是存在量词命题的个数()

①每一个一次函数都是增函数；

②至少有一个自然数小于1；

③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；

④圆内接四边形，其对角互补．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．

答案：B

3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为()

A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故

选C.

答案：C

4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a 的取值范围是()

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a －1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.

答案：D

二、填空题

5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．

①正方形的四条边相等；

②有些等腰三角形是正三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．

答案：①③②④

6．给出下列四个命题：

①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．

以上命题的否定为真命题的序号是________．

解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．

答案：③④

7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．

解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．

答案：∃x∈R，|x|＋x2<0

三、解答题

8．用量词符号表述下列命题：

(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；

(2)对任意实数x，都有x3>x2；

(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(4)某个四边形不是平行四边形．

解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.

(2)∀x∈R，x3>x2.