1.2.1-2命题与量词全称量词命题与存在量词命题的否定

1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
知识点一命题
1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系
(1)四种命题
若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.
(2)四种命题间的关系
知识点二全称量词和全称量词命题
全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀
全称量词命
题
含有全称量词的命题
形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀
x∈M，p(x)”
知识点三存在量词和存在量词命题
存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃
存在量词命
题
含有存在量词的命题
形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃
x∈M，p(x)”
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A、∠B都是锐角. 否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”
题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]
例1判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.
正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．
方法归纳
(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；
(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.
x3－x2＋1>0.故选D.
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.
答案：(1)D(2)D
∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．
∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．
课时作业5
一、选择题
1．下列语句不是存在量词命题的是()
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x是偶数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．
答案：C
2．判断下列命题是存在量词命题的个数()
①每一个一次函数都是增函数；
②至少有一个自然数小于1；
③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；
④圆内接四边形，其对角互补．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．
答案：B
3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为()
A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故
选C.
答案：C
4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a 的取值范围是()
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a －1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.
答案：D
二、填空题
5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．
答案：①③②④
6．给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．
以上命题的否定为真命题的序号是________．
解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．
答案：③④
7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．
解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．
答案：∃x∈R，|x|＋x2<0
三、解答题
8．用量词符号表述下列命题：
(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(2)对任意实数x，都有x3>x2；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.
(2)∀x∈R，x3>x2.
(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．
(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．
9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的梯形对角线相等；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，图像是直线；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
[尖子生题库]
10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，
否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；
(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身.。