北京市高考数学 第20题优美解

2012年高考数学（北京）第20题（理）试题优美解

试题（北京、 理科20）

设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1i m 剟），()j c A 为A 的第j 列各数之和（1j n 剟）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，…，()m r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中的最小值.

（1）对如下数表A ，求()k A 的值；

（2）设数表()2,3A S ∈形如

求()k A 的最大值；

（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值.

解法

解：（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-

∴()0.7k A =

（2）先用反证法证明()1k A ≤：

若()1k A >

则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >

同理可知0b >，∴0a b +>

由题目所有数和为0

即1a b c ++=

-

∴11c a b =---<-

与题目条件矛盾

∴()1k A ≤．

易知当0a b ==时，()1k A =存在

∴()k A 的最大值为1

（3）()k A 的最大值为212

t t ++. 首先构造满足21()2

t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1, (2)

t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)

t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+. 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

1221|()||()|2

t r A r A t +==+， 2121121|()||()|...|()|11(2)22

t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++， 1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+

=++. 下面证明212

t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2

t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.

设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此

()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =≤⋅++-=+-+=++-+<，

故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212++t t 。