《公式法解方程》

21.2.2 公式法

教学目标：

【知识能力要求】

1.理解并掌握求根公式的推导过程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【过程与方法】

经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.

【情感态度价值观】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.

教学重点难点

1、用公式法解一元二次方程.

2、推导一元二次方程求根公式的过程.

教学过程：

活动一、情境导入，初步认识

我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？

【活动目的】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.

活动二、思考探究，获取新知

通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.

由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b

a

x=-

c

a

.

配方，得x2+b

a

x+2

()

2

b

a

=-

c

a

+2

()

2

b

a

，即

2

2

2

4

(

4

2

)

b a

a a

b

x

c

-

+=.

至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

（1）两边能直接开平方吗？为什么？

（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.

【活动目的】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.

师生共同完善认知：

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：

①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；

②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成

，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 活动三、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.

(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2x=2.

分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.

解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;

(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；

（3）原方程可化为3x2x-2=0,∴,c=-2,∴Δ

=b2)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.

例2用公式法解下列方程：

(1)x2-4x-7=0; (2)2x2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x

分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.

【活动目的】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？

活动四、运用新知，深化理解

1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围

是.

2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（）

A.k＞-1 4

B.k＞-1

4

且k≠0

C.k＜-1 4

D.k≥-1

4

且k≠0

3.2=0的根是（）

A.x1，x2

B.x1=6, x2

C.x1, x2

D.x1=x2

4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m 的值.

（注：5~6题为教材第12页练习）

5.解下列方程：

（1）x2+x-6=0; （2）x2x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;

（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.

6.求第21.1节中问题1的答案.

【活动目的】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.

【答案】1.m≤1

2.B