空间点线面之间的位置关系教学教材

空间点线面之间的位

置关系

空间点线面之间的位置关系

一、平面

1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．

平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：

(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角

画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：

画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）

3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言

空间图形的基本元素是点、直线、平面从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：

α

B

A β

α

A

B

α

βα

βB

A

A

β

αB

图形语言 符号语言 文字语言（读法）

A a ∈ 点A 在直线a 上

A a ∉ 点A 不在直线a 上

A α∈ 点A 在平面α内

A α∉

点A 不在平面α内

b a A

a b A =

直线a 、b 交于A 点

a α⊂

直线a 在平面α内

a α=∅ 直线a 与平面α无公共点

a A α=

直线a 与平面α交于点A

l αβ= 平面α、β相交于直线l

二、平面的基本性质

1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

推理模式：

A A

B B ααα∈⎫

⇒⊂⎬∈⎭

． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂

公理1的作用：①判定直线是否在平面内；

②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．

2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫

⎪

∈⇒⎬⎪∈⎭

不共线与β重合

或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.

B

A α

A

αA

α

A a

A a a

α

a

α

a A

α

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．

(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线

推理模式：

A A l A ααββ∈⎫

⇒∈=⎬∈⎭

如图示：

或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈

公理3的作用：

(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题

通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

2、证明空间三线共点

可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条直线的交点在此直线上。

3、证明空间几点共面问题

可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内

三、空间两直线的位置关系

四、平行直线 1. 公理4 平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：//,////a b b c a c ⇒．

(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 五、异面直线 1. 定义：

不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法

画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．

b

a

α

b

a

α

β

b

a

α

3．异面直线判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

推理模式：l A B B L ααα⊂⎫⎪∉⎪

⇒⎬∈⎪⎪∉⎭

直线AB 与直线l 是异面直线

六、异面直线所成的角 1. 定义：

已知a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把直线

a '和

b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．

(1)异面直线所成的角与O 点的位置无关．

(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a b ⊥．

(3)异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤

⎥⎝⎦

．

2. 求异面直线所成角的步骤

（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；

（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；

（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系

1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：