人口增长预测模型

人口增长预测模型
对中国人口做出分析和预测，主要分为如下三个方面： 第一、对人口做短期预测分析；
首先采用灰色系统对人口数量及人口分布即城镇化程度进行预测分析，然后利用人口发展方程进行改进，将二维（年龄、时间）关系转化为一维关系，求出01-13年的各个年龄段的人口增长率，由此反映出人口数量变化趋势。

在此基础上求得01-13年总的人口增长率，再利用灰色系统对16-17年的人口增长率进行预测并对结果进行分析。

其次对人口结构进行预测分析。

人口结构包括老龄化程度、抚养比、男女出生比例、育龄期妇女所占总人口比重、生育率，我们分别采用多次逐步回归，灰色系统，拟合等预测方法对其建立预测模型进行预测分析。

第二、对中国人口做出长期分析和预测；我们建立两个模型进行预测。

模型一、基于人口发展方程原理的改进模型：y=*K*100/（M+100）% 这个模型能反映人口数量与人口结构、人口分布之间的关系。

从长远来看，城镇化程度会越来越严重，并且其在很大程度上影响男女出生性别比、老龄化程度、生育率等。

因此利用人口发展方程的原理分别重新建立男女出生性别比、老龄化程度、生育率与时间、城镇化程度的关系模型，并对此进行长期预测。

分析得结论：育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定值（大约为19‰）；城镇化程度逐渐增大，最后趋于稳定状态（城市人口所占比重为%，镇为%，乡为%）；长期预测中的男女出生性别比逐渐减小，最终在附近趋于平衡。

又由于人口数量受出生率变化的影响，而男女出生性别比、生育率对出生率影响很大。

因此建立人口数量与男女出生性别比、生育率的关系模型并进行长期预测。

结论为：人口数量呈先增大后减小趋势，峰值出现在2042年，届时人口数量将达到最大，为亿。

模型二、基于leslie 的改进模型：
(t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22)
-(n 32112)-(n 321
此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie模型的不足，很适合做长期预测。

我们先分别对城、镇、乡进行预测，再综合得出总的预测结果。

得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为亿，这与模型一得出的结果比较接近。

并且由预测的年龄结构发现，老年化程度越来越严重，到2045年50-70岁这一年龄段分布的人口最多。

第三、人口控制：用模型一做出的人口总量预测峰值为亿。

这与我国提出的将人口总量峰值控制在15亿左右的战略目标有一定差距。

而影响此模型预测结果的参数主要是育龄妇女的生育率，因此我们通过控制生育率来控制人口数量。

关键词：分析和预测人口发展方程灰色系统 leslie改进模型
1 问题的背景
随着中国加入世界贸易组织，进入世界500强，我们迎来了更多的机遇，但同时也面临更加艰巨的挑战。

中国要在世界中立于不败之地，林立于世界强林之中，首先必须注重人口的发展。

现在人口素质已成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中占据着举足轻重的地位。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来我国人口发展出现了一些新的特点。

例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化，先天畸形儿比例较高，人口在地区产业间分布不尽合理，人力资源分配不很完善等，这些因素都影响着中国人口的增长。

为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观。

按照构建社会主义和谐社会的要求，坚持以人为本，推进体制改革，优先投资于人的全面发展：稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导人口合理分布。

保障人口安全，实现人口大国向人力资本强国的转变，实现人口与的协调和可持续发展。

我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会
资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布问题。

因此建立一个人口增长预测的数学模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测就显得尤为重要了。

2 问题的重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

从中国的实际情况和人口增长的上述特点，以构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题为出发点，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，包括人口数量、结构、分布情况等，并且针对预测的结果提出控制的方法；特别要指出所建模型中的优点与不足之处。

3 基本假设
（1）假设题中所给数据基本真实有效；
（2）假设没有重大的自然灾害发生；
（3）在较近一段时期，政府政策基本不发生重大变化；
（4）在较近一段时期，医疗卫生条件保持不变；
（5）所研究的问题没有太大的人口迁入与迁出；
（6）男性比率之和和女性比例之和的总和在1附近。

可以近似认为1。

4 模型的符号说明
模型分析建立及求解
中短期人口预测
模型预处理
首先，我们做如下处理：
第一，鉴于人口的增长率只有0岁婴儿的出生能够表示，我们将0岁婴儿分为一类。

而育龄妇女的年龄分布为15—49岁，且20—29岁之间的生育率尤为高，之后在我国计划生育等政策制度的影响下，生育率有所控制，由此我们把这一期间的人口分为初始生育期、生育旺盛期、生育控制期三类。

而老年人又有较高的
死亡率，所以结合中国统计年鉴的分类标准，把65岁以上的人群定义为老年人。

综上原因，我们把年龄段分为如下7部分：定义0岁为婴儿期，1-14岁为幼年期，15-19岁为初始生育期，20-29岁为生育旺盛期；30-49岁为生育控制期；50-65岁为转向老年期；65岁以上为老年期。

第二，通过EXCEL计算，各年市、镇、乡各年龄组的男性比率与女性比率的总和在1附近。

由于是统计数据，所以稍有偏差，以下我们可以近似认为男、女比率之和为1。

第三，本题要求对人口做中短期与长期预测。

进行中短期预测时，由于政府政策在短时期内基本不变，人口数量、素质、结构、分布之间的关系不很明显，所以可以忽略它们之间的相互影响，采取以下方法进行预测。

其次，对于中短期人口的预测，我们从人口分布、数量、结构三方面考虑。

第一，人口数量我们采用人口发展方程模型，把针对人口数量的时间与年龄两个变量综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。

并且用人口增长率变化来反映人口数量的变化。

第二，人口分布的预测，我们进行人口城镇化比例的预测，采用灰色系统的方法。

第三，针对人口结构，我们又进一步从以下几个方面进行了预测：一，老龄化比例预测，我们采用灰色系统理论进行了预测。

二，出生人口性别比预测，我们采用二次逐步拟合的方法进行预测。

三，劳动力预测，即人口抚养比预测，我们采用灰色系统进行预测。

四，育龄妇女所占比重的预测，我们同样采用灰色系统。

第五，生育率预测，我们又采用二次逐步拟合。

人口数量与人口分布预测
三种类型人口净增长率的求解
结合上述微分方程组，根据人口净增长率=出生率-死亡率，且出生率=各年的女性比率与育龄妇女生育率的乘积之和，死亡率=各年男性比率⨯男性死亡率+女性比率⨯女性死亡率，求出求出2009—2013年三种类型的人口净增长率。

我们考虑分别采用灰色系统，多元逐步回归，时间序列分析等三种方法对三
种类型的人口进行净总人口增长率的预测。

但是，通过比较分析得知在这三种方法中，灰色系统预测效果最好。

下面我们以城市人口净增长率为例，对运用灰色系统的预测进行较为详细的介绍：
灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。

具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了资料不足或系统周期短的矛盾。

灰色系统GM（1，1）模型是依据系统中已知的多种因素的综合资料，按微分方程拟合去逼近，进而外推，达到预测的目的。

这种拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，因此，简记为GM(1，1)模型。

我们利用2010—2013年的实际值（，，，），通过MATLAB程序运行得到如下结果：
2010-2013年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为%，平均误差在10%左右，误差率较小，通过检验。

与此同时预测得到2014年市人口净增长率为%；2007年为 %。

同理可预测得到镇人口净增长率2006年为%；2015年为 %。

乡人口净增长率2006年为%，2007年为%。

见表3
各类型人口净增长率预测值表
由上表观察得知，从2014年到2015年，市人口净增长率从%增到%，增长了个百分点；而镇人口净增长率下降了个百分点；乡人口净增长率下降了个百分点，总体下降了个百分点。

由此可见，我国人口在这两年内虽然会增加，但是人口净增长率将会逐渐减小并趋于稳定。

且可以看出城镇化趋势越来越严重。

鉴于这种情况，下面我们对人口分布的城镇化比例进行预测。

计算总人口的净增长率趋势
根据总人口净增长率等于市、镇、乡各类型人口净增长率与对应所占比例增长率的乘积之和，计算出总人口的净增长率趋势。

即2014年总人口净增长率=市人口净增长率⨯城市人口比例+镇人口净增长率⨯镇人口比例+乡人口净增长率⨯乡人口比例。

2015年的总人口净增长率的计算方法类似。

从而计算得到2014总人口净增长率为%，2015年的总人口净增长率为%。

从以上数据及图表分析得知，中短期总人口净增长率逐渐减小并趋于稳定。

出现这一现象的原因之一是我国实施计划生育政策，直接导致总人口净增长率下降；另外，我国社会主义经济持续增长，国民受教育程度越来越高，更多的人加入到晚婚晚育的行列，且封建残留的思想——生女孩不好，已经基本得到缓解，致使越来越多的人生育一胎化，使更替水平趋于稳定，进而使总人口净增长率下降并趋于稳定。

由此可见，要从根本上解决总人口不断增长的趋势，还得进一步实施邓小平提出的“科学是第一生产力”的理念，提高全体国民的素质，加强推行计划生育的政策，鼓励优生优育、晚婚晚育等。

老龄化发展程度的预测
根据查找的数据，通过EXCEL分别计算得到2008—2013年市、镇、乡三种
类型老年人口（65岁以上人口）所占的比率，即求得三种类型的老龄化人口比重。

表6 市、镇、乡及全国的老龄化人口比重
下面以乡的老龄化人口占总人口的比重为例，运用多元逐步回归的方法，最终确定建立一次回归模型如
bt a W +=
其中，W 是指乡的老龄化人口占总人口的比率，t 表示时刻，b 表示时刻t 的系数。

通过SAS 程序得到结果如下：
表7 模型的检验参数表
从表中我们可见Pr 值为，远远小于，由此可见此模型整体拟合效果较好，可以进行下一步的拟合。

表8 各变量的检验参数表
从表中我们可见两个变量的P 值小于，说明两个因素对W 有显著性的关系，由它得到乡老龄化的预测模型为：
=t
959
.0+
y
.5
*
507
通过上述预测模型计算得到2014年乡老龄化人口的预测值为%，2015年老龄化人口的预测值为%。

同理，运用多次逐步回归对城市和镇的老龄化人口占总人口的比率进行预测，得到如下结果：城市老龄化人口的模型为：y=*t+，并通过预测模型计算得到2012年老龄化人口的预测值为 %，2013年老龄化人口的预测值为%；镇老龄化人口的模型为; y=*t+，并通过预测模型计算得到2013年老龄化人口的预测值为 %，2007年老龄化人口的预测值为%。

老龄化人口分布表
结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总老龄化人口占总人口的比率=市老龄化人口的比率⨯城市人口比例+镇老龄化人口的比率⨯镇人口比例+乡老龄化人口的比率⨯乡人口比例。

计算得到2014年总老龄化人口比率为%，2015年总老龄化人口比率为%。

由以上计算及表格分析，城市老龄化程度有一定的波动性，这与乡镇大量人口涌入城镇以及环境污染的条件下，城市大量人口有返璞归真，接近自然的思想休戚相关。

这一对矛盾的统一体使得城市老龄化人口有一定的波动性。

乡镇老龄化程度有一定程度的增长，这与我国医疗保健水平的提高导致死亡率降低，以及出生率降低致使老龄化程度相对较高有紧密的关系。

男女出生性别比的预测：
通过对附件数据2001-2013年的市、镇、乡的男女出生比例来预测分析，首
先以城市男女出生比例为例：采用多次逐步拟合进行预测，最终选择2次拟合。

求得关系式为：
.02+
=t
y
12752
t
-
85
*
.
509725
509
*
预测14年、15年的男女出生比例分别为：
同理可得：镇的男女出生比例关系模型为：.02+
-
t
15104
=t
y，并且进一步计算得到2014年、2015年的
*
603800
92
.
603
*
男女出生比例的预测值分别为：，；乡的男女出生比例关系模型为：+
.02-
034965
=t
t
y。

-
*
140540
26
*
140
.
并且进一步计算得到2014年、2015年的男女出生比例的预测值分别为：，结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总男女出生人口比率=城市男女出生人口的比率⨯城市人口比例+镇男女出生人口的比率⨯镇人口比例+乡男女出生人口的比率⨯乡人口比例。

计算得到2014年总男女出生人口的比率为，2015年总男女出生人口的比率为（女性以100计）。

男女出生比例预测模型计预测值表
由计算的数据得知，在短期内，经济的发展不会突飞猛进，城镇化程度也不会达到非常高，人们重男轻女思想不会有转折性突变，因此性别比会呈现递增趋势
抚养比预测
扶养比也是衡量一个国家经济实力的重要指标，影响着国家经济状况的发展。

因此，对于国民经济的预测也很有必要。

扶养比为非劳动人口与劳动人口的比值，且结合中国统计年鉴的分类标准，将15—64岁人口定义为劳动人口，通过EXCEL计算求和得到2009—2013年的劳动人口以及非劳动人口比率。

通过公式：扶养比=非劳动人口的比率/劳动人口的比率，计算得到下表。

2009-2013年扶养比变化表
以城市扶养比为例，运用用灰色系统对扶养比进行预测：
2010-2013扶养比的GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
通过相对误差计算得到相对平均误差为%，误差远远小于10%，可见灰色系统预测效果相当好；与此同时得到2006、2007年城市扶养比的预测值分别为：，；同理可得镇扶养比预测值分别为：，；乡扶养比的预测值为：，。

结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总扶养比人口比率=城市扶养比人口的比率⨯城市人口比例+镇扶养比人口的比率⨯镇人口比例+乡扶养比人口的比率⨯乡人口比例。

计算得到2014年总扶养比人口的比率为，2015年总扶养比人口的比率为。

三种类型扶养比预测表
由以上数据及表格得到扶养比有递减的趋势，主要原因是出生率有下降趋势，0—14岁人口逐渐减少且随着我国加入世界贸易组织，拥有越来越多的工作岗位等等原因。

这就使得扶养比出现上述结果。

长期人口预测
模型一
1、鉴于我们研究的是在没有大的自然灾害、社会动荡因素及生物技术水平带来的医疗技术的巨大的突破情况下的人口发展模型，因此，可认为死亡率基本不变，但生育率会有较大变化。

人口数量受出生率，育龄妇女所占总人口的百分比、生育率等的影响。

男女出生性别比例，直接关系到将来育龄妇女所占总人口的百分比，从而影响出生率，进而影响人口数量。

2、通过2001-2013年数据可知：在短期内育龄妇女所占总人口的百分比波动不是很大，可以直接通过这些数据预测今后育龄妇女所占总人口的百分比来推算未来人口数量，或者直接通过以往人口数量来预测未来人口数量，所产生的误差不大。

但由于男女出生性别比一直增加，在长期预测中，育龄妇女所占总人口的百分比变化很大，并且生育率变化也很大。

因此在长期内，必须考虑男女出生性别比例和生育率的影响。

在如下模型中主要考虑男女出生性别比例和生育率是对人口数量的影响。

男女出生性别比例预测
城市男女出生性别比相对乡村要平衡一些，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的男女出生性别比会变化，因此建立男女出生性别
比随城镇化程度及时间的关系变化模型。

各类型人口数量比例随时间变化的关系式表
由函数关系表达式得知：城镇人口所占的比重会越来越多，乡的人口所占的比重会越来小。

城市，镇，乡村的男女出生性别比随时间变化的数学模型：
各类型人口数量比例随时间变化的关系式表
综上建立男女出生性别随城镇化程度以及时间的变化关系模型：
M=w1*y1+w2*y2+w3*y3（M表示第t年的总的男女出生性别比）对预测结果进行数据分析：发现结果与实际有一定出入，男女出生性别比会越来越大。

因此利用阻滞增长模型的原理对上述模型进行改进，设立阀值，使模型更加符合实际；通过数值分析可得，市、镇、乡性别比例不应超过114 ，120 ，122。

对改进后模型进行分析：城市的男女出生性别比较乡村小，会以较快速度接近稳定值，而镇、乡的男女出生性别比较大，性别比波动期较长。

对预测结果进行数据分析：男女出生性别比会先增长，后减小（受城镇化程度影响），最终会趋于在的附近波动。

老龄化程度的预测
城市的老龄化程度较乡村高，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的老龄化程度变化。

表19 各类型人口老龄化程度随时间变化的关系式表
因此建立老龄化程度、城镇化程度、时间的关系模型：
M=v1*y1+v2*y2+v3*y3（M表示第t年的总的男女出生性别）
同样利用阻滞增长模型原理对上述模型进行改进。

对改进后模型预测结果进行数据分析：老龄化程度不断加大，最终将会趋于在一定的范围内波动。

生育率的预测
城市的育龄妇女的生育率比乡村要小很多，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的生育率会变化很大。

各类型育龄妇女的生育率随时间变化的关系式表
市、镇、乡的育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定，但市的生育率趋于稳定值所需要的时间要少一些。

因此建立生育率、城镇化程度、时间的关系模型：K=u1*W1+u2*W2+u3*W3，同样利用阻滞增长模型原理对上述模型进行改进。

结论：总生育率不断降低.，最终趋于19‰附近上下波动。

人口数量预测
因为死亡率基本不变，则育龄妇女所占总女性人口的百分比不变；而女性人口占总人口的比率由于男女出生性别比例变化而变化。

取2005年为基年；育龄女性占总女性人口的百分比为%，设性别比例为M,生育率为K ，死亡率为%，人口总量为亿。

根据人口净增长率=生育率*育龄妇女所占总人口的百分比-死亡率=*K*100/（M+100）%。

利用男女出生性别比的模型方程、老龄化程度预测的模型方程代入求解（见附件5、6）。

最终得出如下结论：在2042年出现人口峰值，此时人口增长率为%（2043年人口增长率为负数），人口数量达到最大为亿。

此时男女出生性别比达到平衡，大约在附近波动。

生育率大约在19‰附近波动。

此时的城镇化程度分别为：城市人口所占比重为%，镇所占比重为%，乡所占比重为%
205—2055年未来人口预测图
模型二
leslie 模型及其分析
本模型是基于leslie 模型的改进模型，下面对leslie 模型的一个较为详细的介绍。

leslie 模型是一个考虑年龄结构的离散人口模型，模型表示如下：
⎪⎩⎪
⎨⎧
==∇+=∇+-=∑.
2,1),()()()(01000
01n i t x b t t x t x a t t x i i i i n
i i
写成矩阵形式即为：X （)0t t ∇+=RX （0t ）.
R=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00
00001
21212
1n n n b b b a a a a 以0t 为初始年限，依次递推可得一个用于预测人口总量及其年龄结构的模型：
X （)0t n t ∇+=R n X （0t ），
其中x i （)0t n t ∇+表示第（)0t n t ∇+年年龄段i 的人口总数， a i 表示年龄段为i 的女性平均生育女性率，
b i 表示年龄段为i 的女性由时刻（)0t n t ∇+进入到（))1(0t n t ∇++时刻的存活率，
leslie 模型的改进模型
leslie 模型只考虑了女性人口数，且将各年龄段女性的生育率、生存率均设为常数，这样做虽然大大简化了模型，易于预测人口总量及其年龄结构。

实际上，尽管各年龄段女性的生存率可能大致不变，可以看作常数，但是生育率却会出现较大的波动，这与生活水平、生育观念有紧密的联系。

随着政府政策的改变，医疗诊断水平得以不断提高，男女出生比例不再是自然生育状况下的比例，而有较大的波动。

leslie 模型不考虑男性人口情况，完全依赖于女性数据并根据某一确定的男女性别比计算人口总量，这种做法有待改进。

针对lieslie 模型中的不合理成分，我们考虑模型的改进方向：第一，考虑男性的人口比率；第二，针对生育率确定这一条件，寻求一个随时间变化的生育率，使模型更加完善。

由附件中给出的数据可分别求出各年龄段男性、女性的加权平均死亡率，鉴于我们研究的是在没有大的自然灾害、没有社会动荡因素及生物技术水平带来的医疗技术的巨大突破情况下的人口发展模型，因此，可认为各年龄段男性、女性的死亡率基本不变。

再由2001年—2013年的男女性别比并结合实际情况，可以。