大学物理第5章角动量守恒定律

r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L 2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t 时间内行
v2
星与太阳间的联线所扫
r2
r2
v1
r1
B S
A
O
r1
过的面积, 如图中所示.
d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是 等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运 动, 而且
第5章 角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量 角动量定理
1.质点的角动量
L r p r mv
称为质点相对参考点O的 角动量或动量矩
L rp sin rmv sin
L
r
m O
p
1
2
3
例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量
（1） 对 A 任意时刻 t，
点的角动量
有 r
(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒
1 2
(m
M
)
v
2 A
1 2
(m
M
) vB2
1 2
k(L
L0 )2
(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒
vB
B
(m M ) vAL0 (m M ) vB L sin
vB
(m
m2 M
)2
v02
k(L m
L0 )2 M
1/ 2
arcsin mL0v0 L
R
系统总角动量 L (m1v1 m2v2 )R
h
h
仍设起初两个小孩都不动，
v10 v20 0, L t0 0
由角动量定理 若 m1 m2
M :
外 (m2 dL 0, dt
m1)gR L 0
dL dt
,
m1
m2
有 m1v1 m2v2 0, v1 v2 轻的升得快；
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例.光滑水平桌面上放着一质量为
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
p mt
3 gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r ) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
m2v02
k(L
L0 )2 (M
m)
1 2
13
5.3 刚体的定轴转动
1.刚体的平动和定轴转动
(1)平动:
A′
在运动过程中刚体上 A
的任意一条直线在各个时
刻的位置都相互平行
B
B′
任意质元运动都代表整体运动
刚体的平动
A〞 B〞
用质心运动代表刚体的平动
(2) 定轴转动
（质心运动定理）
刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动
pr
dp
dt dt
dt
dt
v mv r F
力矩
rF
M
r
O r
A
F
定义：对O点力矩 M r F
大小 M Fr sin Fr
质点的角动量定理 M dL dt
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量 的时间变化率
5
3角动量守恒定律
质点的角动量定理 若 M外 0
M dL dt
M的木块, 木块与一原长为L0, 劲
度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另
O
L
一端固定于O点.
当木块静止于A处时, 弹簧保 持原长, 设一质量为m的子弹以初
L0 k
速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当
木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧
的长度为L.
m
v0
M A
求木块在B点的速度 vB的大小和方向.
解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒 mv0 (m M ) vA
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2 用角量描述转动
z
1) 角位移 θ :
θ
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度 :
lim d
t0 t dt
3)角加速度 :
刚体定轴转动
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
角速度 的方向按右手螺旋法则确定
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线量与角量关系
z
dS r d
v r
v dS
切向分量
at
dv dt
r
若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小 孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？
R h
m1
解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的 轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。
h
此系统的总角动量为 L mR(v1 v2 )
v1左边孩子向上的速度；
m2
v2右边孩子向上的速度；
此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩， 彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。）
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
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(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
天体系统的旋转盘状结构
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5.2 质点系的角动量定理
质点系角动量
n
L Li (ri pi ) i 1
第i个质点角动量的时间变化率
dLi
dt
ri (Fi
i j
fij )
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t时间内行星所走过的弧长, 则有
lim L r m s sin
t0 t源自文库
lim L 2m 2m d
Δt0 t
dt
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,
则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量 是否守恒？
Lo r mv
rmv sin
r mv
L
r
O r
A
p mv
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例. 试利用角动量守恒定律: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
dL
dt
i
ri Fi
i
(ri fij )
i j
M外 M内
Fi
m1
mi fij
mj
ri
f ji
O rj
Fj
M外 ri Fi
i
M内 (ri fij ) 0
i
i j
M外
dL dt
质点系的角动量定理
M外 0 时 L Li 常矢量
i
质点系的角动量守恒 10
例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。 一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。
因此整个系统角动量守恒。
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L mR(v1 v2 )
设两个小孩起初都不动，即 v10 v20 0, L t0 0
以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零， 即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。
若两个小孩重量不等，即 m1 m2
系统所受外力矩 M 外 （m2 m1)gR,