等比数列的前n项和教案

等比数列的前n项和教案
【篇一：等比数列前n项和教学设计】
《等比数列的前n项和》教案
一．教学目标
知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握
等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识
及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一
般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓
励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得
成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、
数学的严谨美。

二．重点难点
教学重点：公式的推
导、公式的特点和公式的运用；教学难点：公式的推导方法及公式
应用的条件。

三．教学方法
利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。

四．教具准备教学课件，多媒体五．教学过程
（一）创设情境，提出问题
故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时
的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个
格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格
子放64千吨小麦，请给我这些小麦？
（二）.师生互动，探究问题
问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出
小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要
1+2+3+?+64=2080(千吨)
结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单
的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第
2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放
的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,
请给我这么多的麦粒数？
问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写
出麦粒总数1?2?22?23?????263，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界
两千多年小麦产量的总和．
问题3： 1，2，22，?，263是什么数列？有何特征？应归结为什
么数学问题呢？
探究一：1?2?22?23?????263，记为
s64?1?2?22?23?????263??①式，注意观察每一项的特征，有何
联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探究二：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式
两边同乘以2则有2s64?2?22?23?????264??②式．比较①、②
两式，你有什么发现？
经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式
相减，相同的项就消去了，得到：s64?264?1 ，老师指出：这就是
错位相减法，并要求学生纵观全过程。

思考：为什么①式两边要同乘以2呢？（三）.类比联想，解决问题探究三：如何将结论一般化，设等比数列?an?，首项为a1，公比为q,如何求前n项和为sn？
探究四：在学生推导过程中，由(1?q)sn?a1?a1q，得到sn?
n
a1?a1q1?q
n
对不对？
探究五：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）
（四）.例题讲解，形成技能
1111
......前8项和；例1：求等比数列,,,
24816
练习一：根据下列条件，只需列出等比数列?an?的（1）
a1=3,q=2,n=6,
sn的式子
sn=________________.
12
,
(2) a1=2.4,q=-1.5,an=
sn=_______________.
(3)等比数列1，2，4，?从第五项到第十项的和s=___________.
例2：等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn？练习二：等比数
列{an}的公比q= （五）总结归纳，加深理解
12
，a8=1，求它的前8项和s8。

引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从
知识点及数学思想方法两方面总结。

（六）.故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，西萨的第二个要求需要大约7380亿
吨小麦，比第一个要求更加苛刻，显然国王兑现不了他的承诺。

同
学们有什么办法帮助国王吗？让西萨自己去数他要的麦粒，事实上，假如他一秒钟数一粒，数完这些麦粒所需时间约是5800亿年。

六.课后作业
必做： p24习题三第三题（1）（2）
七、教学评价与反馈
根据高二职高学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性
教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。

公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。

应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固
【篇二：《等比数列的前n项和》教学案例设计】
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，
坚持面向全
体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同
的人学不同的数学”的理念。

教学中强调“培养学生情感、态度与价
值观”的重
要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数
学观，但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在
头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思
维的效益。

通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养
学生的社会意
识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活
经验的同时，
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必
要性。

2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性
和能力的发展。

在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，
改变现状，树
立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，
既注重基础知
识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其
科学有效，使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。

3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比
数列n前项和
公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。

探索公式
的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。

本节内容基础知识和基本技
能非常重要，
涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。

本设计是
第一课时的教
学内容。

二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。

⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分
类讨论的思想
方法。

⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学
价值、应用价
值，发展数学的理性思维。

教学重点
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。

教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发
引导下，以学
生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周
世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”
中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

设计思路如下：
四、教学过程
（一）创设问题情景
课前给出复习：等比数列的定义及性质
课首给出引例：“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，
哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷
人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱
第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30
天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,
怕上当受骗,
所以很为难。

”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上
进入到研究者
的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： (1+30)?30=1+2+ +30==465（万元）穷人30天借到的钱：s302
穷人需要还的钱：s30=1+2+22+ +229=?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求s30=1+2+22+ +229=？的问题让学生探究，
s30=1+2+22+ +229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2s30=2+22+ +229+230②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） s30=230-1=1073741823
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以
上方法
推导）
sn=a1+a1q+a1q2+ +a1qn-2+a1qn-1(1)
qsn=a1q+a1q2+ +a1qn-1+a1qn(2)
（1）-（2）有(1-q)sn=a1-a1qn
q=1?na1,? sn=?a1(1-qn)a1-anq,q≠1?1-q=1-q?
推导等比数列前n项和sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方
法后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手
发言）
学生a：a2=a3= =an=q ∴a2+a3+ +an=q 即 a1a2an-1a1+a2+
+an-1
sn-a1=q∴sn=a1-anq(q≠1)sn-an1-q。

学生b：
sn=a1+a1q+ +a1qn-2+a1qn-1
=a1+qa1+a1q+ +a1qn-2=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)=a1+qsn-anq
∴sn-qsn=a1-anq∴sn=a1-anq(q≠1) 1-q()
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会
或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥
了组织者、推
进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发
现者、创造者！
让学生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习：】
1、求下列等比数列的各项和：
1111(1)1，3，9，?，2187（2）1,-,,-, ,- 248512
2、根据下列条件求等比数列{an}的前n项和sn
①a1=2,q=2,n=8 ②a1=8,q=2,an=
(四)数学应用
例1 求等比数列1/2，1/4，1/8??的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11解：（1） a1=,q=,n=8 221 2
11(1-n)=255 ∴s8=2
12561-2
1（2） a4=a1q3=,n=5 16
11(1-5)=31 ∴s=12561-2
例2：在等比数列{an}中，
（1）已知 a1=-4,q=2, 求sn
（2）已知a1=1,ak=243,q=2求sk
例3：在等比数列{an}中，s3=763,s6= 求an 22
[例1教师板演示范，强调解题的规范。

例2、例3学生分析解法，
学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题
过程。

]
【演练反馈巩固性练习：】
1）在等比数列{an}中，
①已知a1=-1.5,a7=-96，求q和sn
②已知a3=4,s3=12,求q和a1
2）求数列1+a+a2+a3+ an-1+ (a≠0)的前n项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。

然后老师给出评价]
（六）布置作业
1、根据下列条件，求等比数列{an}的前n项和sn
①: a1=3,q=2,n=6 ②: a1=8,q=11,an= 22
5,n=4 ④: a1+a3=10,a4+a6=, ③：a2=0.12,a5=0.000964
2、在等比数列
①:已知{an}中， a1=2,s3=26，求q和sn
=30,s3=115，求sn
}中，已知sn=48,s2n=60，求s3n ②:已知s23、在等比数列{an
2n-1s=1+3x+5x+ +(2n-1)x(x≠0) 4、求和：n
[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做
的症结所在，就算完成了作业。

]
（七）板书设计
等比数列的前n项和
公式推导例题练习
注：
（七）课后反思
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。

同时，考虑到这
是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。

教学设计从学生
的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。

学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，
在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了
创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。

从认知的角度看，
情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。

本节课数学情境
的创设突出了以下两点：
1．从有利于学生主动探索设计数学情境。

新课标指出：学生的数学
学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。

从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。

因此，本教案紧紧地
抓住高一学生的这一特征，利用“小故事”这一探索性的材料，精心
设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2.以问题为导向设计教学情境。

“问题是数学的心脏”，本节课数学
情境的设计处处以问题为导向：“请在座的同学思考讨论一下,穷人能
否向富人借钱?”、“ 如何推导等比数列前n项和公式？”、“还有没
有其他推导方法？” ??促使学生去思考问题，去发现问题。

【篇三：等比数列的前n项和优秀教案】
等比数列的前n项和
一．教材分析
1.在教材中的地位和作用
在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比
数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。

而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重
要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。

等比数列的前n项和公式的推导过
程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列
求和问题中时常出现。

在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分
期付款的有关计算。

2.教材编排与课时安排
提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化
公式应用（例题与练习）
二．教学目标
知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的
特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学
的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。

情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、
认识社会，形成科学的世界观和价值观。

三．教学重点与难点：
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。

教学难点：公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。

四．教学过程：
（一）、复习回顾：
（1）等比数列及等比数列通项公式。

复习回顾例题1：{an}为等比数列，请完成下表除{sn}外的所有项
答案如下：
（2）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的。

（二）、情境导入：
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故
事大家听说过吗？“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子
里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格
子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.
请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提
出的要求。

假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量
约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。

怎样计算？请列出算式。

探讨1：s=1+2+22+23+…+2 63,①
注意观察每一项的特征，有何联系？
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项
2s=2+22+23+…+263+264,②
s64=264-1
粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目
前世界年度小麦产量约6亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。

国
王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后
果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的结果，.而避免
这个不幸的事情发生，正是我们这节课所要探究的知识.
五、推进新课
等比数列前n项公式的推导： 1.错位相减法，
sn=a1+a1q+a1q2+ +a1qn-2+a1qn-1①
23n-1n
aq+aq+aq+ +aq+aq11111qsn=②
①－②得：(1-q)sn=a1-a1qn
a11-qn当q≠1时，得到sn=
1-q当q＝1，sn=na1.
?na1?
等比数列前n项和公式：sn=?a11-qna1-anq
?1-q=1-q?
(q=1) (q≠1)
()
()
注意：1.公比为1的情况
2.已知 a1,q,n,an,sn 中的任意三项，可以求其他两项（知三求二）
六、例题剖析
例2：完善例1的表格
111
例3：，，…的等比数列
248
(1)求前8项的和
(2)求第4项到第8项的和解：（1） a1=
11
,q=,n=8 2211(1-n)
=255 ∴s8=12561-2
1
为公比的前5项和） 2
（2）方法一（先求出a4，等价于求一个以a4为首项，
解： a4=a1q=
1
,n=5 1611(1-5)
=31 ∴s=12561-2
3
方法二：（s8-s3）
1?1?
1- ?2?28?
解：s8-s3=-
1-2七、小结：1?1?1- ?312?23?
= 2561-2
1.熟记等比数列前n项和的通项公式，重点掌握错位相减的方法。

2.易错点：易忽略公比q=1的情况
3.思想方法：类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般八．作业： 1.已知等比数列{an}的前n项和sn=48，s2n=60 求s3n （并思考用不
同的方法来解答这个问题）
2.课本p58 页1，2题。