第1章_大气运动的基本方程组

2 惯性坐标系中的运动方程
在惯性坐标系中，按牛顿第二运动定律，单位质量空气 徽团的运动方程可表 d aVa 1 p g a N dt
上式是在绝对坐标系中，单位质量空气微团所遵从的运 动方程，有时称为绝对运动方程。但是，由于在地球坐标 系中（例如地球上的测站）无法直接观测到绝对速度和绝 对加速度，只能观测到相对速度和相对加速度。因此，上 式并不能直接用于研究地球大气运动。

可见，铅直涡度分量ζ可解释为水平围线上的速度环流在 面积趋于零时的极限，或者说是单位面积上的速度环流。
§1.2 旋转坐标系中的大气运动方程
1惯性坐标系与非惯性坐标系
牛顿第二定律只适用于某种特定的坐标系（或参照系 ）。按牛顿第二定律是否成立，可将坐标系分成： 绝对 （静止）坐标系：能使牛顿第二定律成立的坐标系 。在这种坐标系中，牛顿惯性定律亦成立，故又称之为惯 性坐标系。 相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系 仍是惯性坐标系。 相对坐标系：相对于惯性坐标系作加速运动的坐标系，也 称非惯性坐标系。
气压p沿 ）方向 的方向导数可表为：
p p lim p (n l ) p cos l r 0 r
（或 l
此式清楚地表明了气压空间 变化与气压梯度的关系： 当＝0时，即p的方向导数取得 最大正值；当＝/2时， p l 0
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三、 场变量的时间变化
r t

为动点的位置矢的时间变化率，
也称为平流速度。F的个别变化率等于其局地变化率与平流 变化率之和。当动点就是空气质点时，气象上通常用 V 表 示空气运动的速度：
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dy dz dx v w 其中： u dt dt dt F F F F dF F u v w V F 这样有： t x y z dt t d V 上式可以看成是“个别微分算子”： dt t
在南半球，情况则相反：当ζ>0(ζ<0)时，称之为反气 旋式（气旋式）涡度。
2）速度环流
沿闭合曲线L的速度环流定义为 ：
C Vh dr Vs dr
L L
速度环流的物理含义：围线L上的一群空气质点沿L方向运动 的总体（积分）趋势的一种定量量度。 在北半球，当C >0(C <0)时，气象上称之为气旋式（反气 旋式）环流。
3）速度环流与涡度的关系
计算沿围线ABCD的速度环流：
AB: BC:
C AB
u y [u ( )]x y 2
CD:
v x C BC (v )y x 2 u y v x CCD (u )(x) DA: C DA [v ( )]( y ) y 2 x 2
在气象学上： 1）通常将相对于恒星静止、不随地球自转的坐标系称为绝 对坐标系（惯性坐标系或“静止”坐标系），在绝对坐标 系中观测到的大气运动称为绝对运动；并且，通常略去地 球绕太阳公转引起的加速度(≈6×10-3m/s2)； 2）将固定于地球上、跟随地球自转一起转动的坐标系称为 相对坐标系（旋转坐标系），它是一种非惯性坐标系, 在 此坐标系中观测到的大气运动称为相对运动。
Chapter 1: 大气运动的基本方程组
第1章：大气运动的基本方程组
描述大气运动和热力过程的基本物理量：
P、T、、q (u、v、w) 场变量：是空间上和时间上 的连续函数的物理量。
支配大气运动的基本物理原理（定律）有： 1）动量守恒原理（牛顿第二运动定律）；2）能量守恒 原理（热力学第一定律）；3）质量守恒原理（连续方 程）；4）状态方程；5）水汽方程等。
T t 0 当 V T <0 时, 称为冷平流 ，可造成降温：
T t 0 当 V T >0 时, 称为暖平流 ，可造成升温：
TTT+ T+
T
T
V
V
冷平流
暖平流
例题20
三、速度场的散度和涡度
1、速度散度和连续方程
1）速度散度 考虑表面积为S、体积为τ的空气块 （如图），由于其表面上各点的速 度分布不均匀而引起的体积变化率
与局地变化率不同，它是物理量在不同地点、不同时刻的 变化率。
3、平流变化率
改写个别变化率的表达式：
局地时间变化率
F ( r0 r , t0 t ) F ( r0 r , t0 ) dF lim ＋ dt t t 0 F ( r0 r , t0 ) F ( r0 , t0 ) lim t t 0
p p p i j k 为气压梯度。 定义： p x y z
梯度算子（符）： i x j y k z
3
p p r
p p n
r l r
p p r (n l ) p r cos
1、局地时间变化率
当考察在空间某个固定点（位置矢为 r ）上一个场变
量随时间t的变化时，所测得(或观测到)的变化称为该场变 量在该地点上的局地（时间）变化。 场变量F（ r ，t）在点 r 上的局地变化率(单位时间内的 变化量)可定量地表为：
F ( r , t0 t ) F ( r , t0 ) F lim t t t 0
高斯公式
d Vn ds dt S d Vd dt
其中：
u v w V x y z
速度散度
考虑气块体积趋于零有：
1 d V dt
速度散度的物理意义：空气微团体积的相对变化率。 当垂直速度为零时， 空气运动为水平运动，空气微团的 体积变化率退化为水平面积(A)的变化率：
4 、相对运动方程 dV 1 2 2 V R p g a N dt
dV 1 2 p 2 V g a R N dt
在等号的不同边， 或称“惯性力”， 或称 “加速度”
5、作用于空气微团上的作用力
找出绝对速度与相对速度以及绝对加速度与相对 加速度的关系？ 3 两种坐标系中的速度和加速度的关系
a r pp" Vat
绝对位移
r p' p" Vt
相对位移
若将由于地球自转引起p点的移动速度（称为牵连速度） 记为 Ve ，则p点的牵连位移为
e r pp' Vet
r xi yj zk
2
2、标量场的梯度
任一标量场(以气压场p为例)可表为空间点和时间的 函数：
p p( x, y, z, t ) p(r , t )
考虑某一指定时刻(t=t0 )气压p在某一点的邻域的空间 变化，则p可视为只是空间变量的函数，其空间微分可 表为： p p p p x y z x y z
2、个别时间变化率
个别变化率是指跟随某个“动点”（如移动的飞机、车、
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船、空气质点或天气系统中的特性点等）在运动过程中所 历经（或测得）某物理量F 随时间的变化率。 其数学表达式可写为：
F ( r0 r , t0 t ) F ( r0 , t0 ) dF lim dt t t 0
沿围线ABCD的总速度环流则为:
C C AB C BC CCD C DA
由此有
v u ( )xy x y
形ABCD的面积。当矩形面积趋于零，取极限则有
:

C
ζ为矩形中心点处的铅直涡度分量，为矩
lim
ABCDVh dr
0
空气微团的绝对位移等于其相对位移与牵连位移之向量和
a r r e r
若用 t 除上式两端，并取 t 趋于零的极限，则有 d a r dr d e r dt dt dt
即
Vaபைடு நூலகம் V Ve
绝对速度与相 对速度的关系
位于纬度 处的空气 空气质点的牵连速度 质点的牵连速度就是 该质点随地球自转时 在纬圈平面上以角速 度 作匀速圆周运动 的线速度 ：Ve R r （推导） d a r dr r 和 Va V r 于是有： dt dt 从个别变化率的定义出发，可直接证明，对于任一标量 F,绝对坐标系中的个别变化率等于相对坐标系中的个别变 da F 化率： dF 作业：习题21， 29 dt dt
本章的主要任务是，利用这些物理原理和数学方法， 建立描述大气运动的基本方程组。
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§1.1运动学基础
一、标量场的空间变化 1、位置矢量：空间上的任一点M(x，y，z)的位置则可用 一个位置矢量表示：
r xi yj zk
空间上位置的变化可用位置矢量 的改变量（位移矢量）表示：
d a A dA A 成立。 证明：对任意矢量 A ， dt dt
d aVa dV 2 2 V R （推导） 令： A Va 有： dt dt
即表述绝对加速度与相对加速度关系的定量关系式。绝对 加速度等于相对加速度加上两个由于坐标系旋转而引起的 附加加速度： 1）科里奥利（Coriolis）加速度： 2 V 2）向心加速度： 2 R 通过已经确定了旋转坐标系中的相对速度与绝对速度以 及相对加速度与绝对加速度的定量关系， 那么我们就完 全可以通过地球上探测到的风速（相对速度）来定量地表 述绝对速度和绝对加速度。因而，我们可以进一步导出便 于直接用于研究地球大气运动规律的运动方程———旋坐 标系中的运动方程（相对运动方程）。
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右边第二项的分子可表为：
F F (r0 r , t0 ) F (r0 , t0 ) r F
取 t 0 (同时有 r 0 )的极限：

dF F dr F dt t dt
dr dt
平流变化率
其中：
lim
t 0
V i j k
w v y z
x分量
y分量
u w z x
v u x y
z分量
对于大尺度运动，垂直方向的涡度分量是主要的，天气学 上常常主要考虑垂直涡度分量z，并且约定： 在北半球：ζ>0，称之为气旋式涡度， ζ<0，称之为反气旋式涡度
1）气压梯度力 考虑右图空气 块所受压力：
于是，对单位质量的空气小体而言，在 x方向上所受压力的
合力为
： (1 )(p x)i
• •
Y方向的合力： (1 )(p y) j Z方向的合力： (1 )(p z)k
1 1 p p p p ( i j k ), x y z
dr V ui vj wk dt
作用于场变量F 的结果。若令F=T, T为气温, 则由上式有： T dT V T t dt 这是局地温度的预报方程。左边代表局地的温度变化率，右 8 边的项可视为影响局地温度变化的强迫因子。
上式右边第二项（ V T ）称为温度平流。
u v h Vh x y
1 dA h Vh A dt
h i j x y
辐散
辐合
2）连续方程
1 d V 0 dt
( V ) 0 t
3）气压倾向方程（P10）
2、速度场的涡度 1）涡度：是用来描述空气微团的旋转特性：