初中数学教程整数指数幂
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所以, 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法 表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a×10- n的形 式,其中n是正整数,1≤∣a∣<10.
算一算: 10-2= ___0_.0_1______;
10-4= ____0_.0_0_0_1___;
二 科学记数法
忆一忆: 科学记数法:绝对值大于10的数记成a×10n的形式,其中 1≤a<10,n是正整数. 例如,864000可以写成 8.64×105. 想一想:
怎样把0.0000864用科学记数法表示?
探一探:
因为 0.1 1 101; 10
1
0.01 100
10-2
;
1
0.001 1000 10-3 L L
(3) (a1b2 )3 ; (4) a2b2 (a2b2 )3.
解:(1) a2 a5 a25 a7 1 ; a7
(2)(
b3 a2
)2
b 6 a 4
4
a b6
;
例1 计算:
(1) a2 a5; (3) (a1b2 )3 ;
(2)
b3 a2
2
;
(4) a2b2 (a2b2 )3.
解: (3) (a1b2 )3 a3b6 b6 ; a3
(4) a 2b2 • (a 2b2 )3
a 2b2 • a 6b6
a 8b8
b8 a8
.
(1) 根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am ÷an=am-n
又am ·a-n=am-n,因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
当堂练习
1.填空:(-3)2·(-3)-2=(1 );103×10-2=( 10 );
1 a-2÷a3=( a5);a3÷a-4=( a7 ).
2.计算:(1)0.1÷0.13
0.113
0.12
1 0.12
100
(2)(-5)2 008÷(-5)2 010
(5)2
0082
010
(5)2
1 (5)2
想一想:你现在能说出m分别是正整数,0,负整数时,am各 表示什么意思吗?
填一填:
(1)-22= -4 , (2) (-2)2= 4
(3)(-2)0= 1
(5)2-3=
1 8
,(4) 20= 1
,(6)(-2)-3=
1 8
, , .
典例精析
例1 计算:
(1) a2 a5;
b3
2
(2)
a2
;
4.用科学记数法填空:
是正整数,m>n中的m>n这个条件去掉,那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到:
a 2
1 a2
.
知识要点
负整数指数幂的运算性质
一般地,我们规定:当n是正整数时,an
1 an
(a 0)
这就是说,a-n (a≠0)是an的倒数.
引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整 数.也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
10-8= _0_.0_0_0_0_0_0_0_1__. 议一议:
指数与运算结果的0的个数有什么关系?
通过上面的探索,你发现了什么?:
一般地,10的-n次幂,在1前面有_____n____个0.
想一想:10-21的小数点后的位数是几位? 1前面有几个零?
知识要点
科学记数法 u用科学记数法表示一些绝对值较大的数的方法: 即利用10的正整数次幂,把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式,其中n是正整数,1 ≤ ︴a ︴<10. n等于原数 整数位数减去1. u用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法: 即利用10的负整数次幂,把一个绝对值小于1的数表示成 a×10-n的形式,其中n是正整数,1 ≤ ︴a ︴<10. n等于原数 第一个非零数字前所有零的个数(特别注意:包括小数点前 面这个零).
(5)
( a )n b
an bn
(n是正整数);
(6)当a ≠0时,a0=1.
想一想: am中指数m可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂
am表示什么?
1.计算:a3 ÷a5=? (a ≠0)
解法1
a3
a5
a3 a5
a3 a2 a3
1 a2
.
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0,m,n
典例精析
例2 纳米是非常小的长度单位,1nm=10-9m.把1nm3的物体 放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上,1mm3的空间可 以放多少个1nm3的物体(物体之间隙忽略不计)?
解:1mm 103 m,1nm 109 m. (103 )3 (109 )3 109 1027 1018
答:1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体. 1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍.
学习目标
1.理解并掌握整数指数幂的运算性质.(重点) 2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.(重点) 3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题.(难点)
导入新课
问题引入
我们在学习同底数幂的除法公式am÷an=am-n时,有一
个附加条件:m>n,即被除数的结果数大于除数的指数。当 被除数的指数小于除数的指数,即m<n时,情况怎样呢?
1 25
(3)100×10-1÷10-2 11101012 11010010
(4)x-2·x-3÷x2
=
1 x2
百度文库gx13
gx12
1 x 23 2
1 x7
3.用科学记数法表示:
(1)0.000 03; 3 105 (2)-0.000 006 4; 6.4 106
(3)0.000 0314; 3.14 105
讲授新课
一 负整数指数幂
我们知道,当n是正整数时, an=a·a·····a
正整数指数幂有以下运算性质: n个
(1) am·an=am+n ( m、n都是正整数) ;
(2) (am)n=amn ( m、n都是正整数) ;
(3) (ab)n=anbn ( n是正整数);
(4)am ÷an=am-n (a ≠0, m,n是正整数,m>n);
(2) 特别地, a a b agb1
b
所以
( a )n (agb1)n an gbn , b
即商的乘方可以转化为积的乘方.
u整数指数幂的运算性质归结为
(1)am·an=am+n ( m、n是整数) ; (2)(am)n=amn ( m、n是整数) ;
(3)(ab)n=anbn ( n是整数).