高中数学 第三讲三排序不等式课件 新人教A版选修45
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三 排序不等式
学习目标
三
排
课前自主学案
序
不 等
课堂互动讲练
式
知能优化训练
学习目标 1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式 分析解决一些简单问题； 2．体会运用经典不等式的一般思想方法．
课前自主学案
1．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数， c1 ， c2 ， …cn 为 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一 排 列 ， 称 _a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＋__…__＋__a_n_b_n_ 为 顺 序 和 ,_a_1_b_n＋__a_2_b_n_－_1_ _＋__a_3_b_n_－_2_＋__…__＋__a_n_b_1 __为反序和，__a_1c_1_＋__a_2c_2_＋__a_3_c_3 _ _＋__…__＋__a_n_cn__为乱序和． 2．排序原理可简记为：_反__序__和__≤__乱__序__和__≤__顺__序__和__．
1.
∴a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值为 a3 a1 a2
1.
用排序不等式证明不等式
例2 设 a1、a2…an 互不相同且为正整数，求证： 1＋21＋13＋…＋n1≤a1＋a222＋a332＋…＋nan2. 【证明】 设 b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的一个排列，且满足 b1<b2<…<bn，b1，b2，…， bn 互不相同且为正整数， ∴b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又∵1>212>312>…>n12， 由排序不等式，得 a1＋2a22 ＋a332＋…＋ann2＝b1＋2b22＋b332＋…＋bnn2 ≥1×1＋2×212＋3×312＋…＋n×n12 ＝1＋12＋13＋…＋n1.
【名师点评】 本题证明关键是构造本不等式中 用到的一些数字如 1、212、312等，并比较出大小．
23
n a2 a3
an
1.
例3 已知 a，b，c∈R＋.a≥b≥c，求证：
(1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
【证明】 (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b， ∵c>0，∴1c>0，∴b1c≥c1a. 同理：b≥c>0，∴1b≤1c， ∵a>0，∴1a>0. c1a≥a1b.∴b1c≥c1a≥a1b.
【名师点评】 对于(2)要利用(1)的不等式，结合题设 条件 a≥b≥c 构造 a2≥b2≥c2 和c13≥b13≥a13而证之．
变式训练 3 已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证明 a2b2＋a＋b2bc＋2＋c c2a2≥abc.
证明：不妨设 b≥a≥c， ∴ab≥bc≥ac.a＋b＋c>0， ∴a＋abb＋c≥a＋bbc＋c≥a＋abc＋c.
解：不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， ∴a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a3 3＋aa1a12＋aa3a2 2 ＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和 S′＝aa1a3 2＋aa2a1 3＋aຫໍສະໝຸດ Baidu3a2 1.
由排序不等式得aa1a3 2＋aa2a1 3＋aa3a2 1≥a1＋a2＋a3＝
【解】 不妨设 a≥b≥c.于是 a＋b≥c＋a≥b＋c. 又∵a≥b≥c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得： b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b， 两式相加得：2(b＋a c＋c＋b a＋a＋c b)≥3.
(2)由(1)b1c≥c1a≥a1b，于是由顺序和≥乱序和得 ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥bb3c53＋cc3a53＋aa3b53 ＝bc32＋ac23＋ab23(因为 a2≥b2≥c2， c13≥b13≥a13)≥cc23＋aa32＋bb23
＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.
变式训练 2 设 a1，a2，…，an 为 1,2，…，n 的一 个排列． 证明：12＋23＋…＋n－n 1≤aa21＋aa23＋…＋aan－n 1. 证明：设 b1，b2，…，bn－1 是 a1，a2，…，an－1 的一 个排列，且 b1<b2<…<bn－1. c1，c2，…，cn－1 为 a2，a3，…，an 的一个排列，且 c1<c2<…<cn－1， 于是c11>c12>…>cn1－1.
由乱序和≥反序和得
a1＋a2＋…＋an－
a2 a3
an
1≥bc11＋bc22＋…＋bcnn－ －11.
∵b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，
cn－1≤n，
∴bc11＋bc22＋…＋bcnn－ －11≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，
即1＋2＋…＋n－1≤a1＋a2＋…＋an－
思考感悟 排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证 明方法吗？ 提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其 他证明方法．
课堂互动讲练
考点突破
用排序不等式求最值 例1 设 a、b、c 为正数，求b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的 最小值． 【思路点拨】 先不妨设定大小顺序，再找b＋1 c， c＋1 a，a＋1 b的大小顺序，用排序不等式证明．
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c，等号成立． ∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最小值为32.
【名师点评】 本题的关键是构造常数， 3＝bb＋ ＋cc＋cc＋ ＋aa＋aa＋ ＋bb＝b＋b c＋b＋c c＋c＋c a＋c＋a a＋a＋a b ＋a＋b b.
变式训练 1 设 a1、a2、a3 为正数，且 a1＋a2＋a3 ＝1，求aa1a3 2＋aa2a1 3＋aa3a2 1的最小值．
由排序不等式可得 a＋abb＋2 c＋a＋bbc＋2 c＋a＋abc＋2 c ≥a＋abb·b＋c c＋a＋bcb·a＋c c＋a＋acb·a＋b c＝abca＋a＋b＋b＋c c， ∴a2b2＋a＋b2bc＋2＋c a2c2≥abc.
误区警示
例 设 ak(k＝1,2，…，n)为实数，ci∈{a1，a2，…， an}(i＝1,2，…，n)，
学习目标
三
排
课前自主学案
序
不 等
课堂互动讲练
式
知能优化训练
学习目标 1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式 分析解决一些简单问题； 2．体会运用经典不等式的一般思想方法．
课前自主学案
1．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数， c1 ， c2 ， …cn 为 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一 排 列 ， 称 _a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＋__…__＋__a_n_b_n_ 为 顺 序 和 ,_a_1_b_n＋__a_2_b_n_－_1_ _＋__a_3_b_n_－_2_＋__…__＋__a_n_b_1 __为反序和，__a_1c_1_＋__a_2c_2_＋__a_3_c_3 _ _＋__…__＋__a_n_cn__为乱序和． 2．排序原理可简记为：_反__序__和__≤__乱__序__和__≤__顺__序__和__．
1.
∴a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值为 a3 a1 a2
1.
用排序不等式证明不等式
例2 设 a1、a2…an 互不相同且为正整数，求证： 1＋21＋13＋…＋n1≤a1＋a222＋a332＋…＋nan2. 【证明】 设 b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的一个排列，且满足 b1<b2<…<bn，b1，b2，…， bn 互不相同且为正整数， ∴b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又∵1>212>312>…>n12， 由排序不等式，得 a1＋2a22 ＋a332＋…＋ann2＝b1＋2b22＋b332＋…＋bnn2 ≥1×1＋2×212＋3×312＋…＋n×n12 ＝1＋12＋13＋…＋n1.
【名师点评】 本题证明关键是构造本不等式中 用到的一些数字如 1、212、312等，并比较出大小．
23
n a2 a3
an
1.
例3 已知 a，b，c∈R＋.a≥b≥c，求证：
(1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
【证明】 (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b， ∵c>0，∴1c>0，∴b1c≥c1a. 同理：b≥c>0，∴1b≤1c， ∵a>0，∴1a>0. c1a≥a1b.∴b1c≥c1a≥a1b.
【名师点评】 对于(2)要利用(1)的不等式，结合题设 条件 a≥b≥c 构造 a2≥b2≥c2 和c13≥b13≥a13而证之．
变式训练 3 已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证明 a2b2＋a＋b2bc＋2＋c c2a2≥abc.
证明：不妨设 b≥a≥c， ∴ab≥bc≥ac.a＋b＋c>0， ∴a＋abb＋c≥a＋bbc＋c≥a＋abc＋c.
解：不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， ∴a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a3 3＋aa1a12＋aa3a2 2 ＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和 S′＝aa1a3 2＋aa2a1 3＋aຫໍສະໝຸດ Baidu3a2 1.
由排序不等式得aa1a3 2＋aa2a1 3＋aa3a2 1≥a1＋a2＋a3＝
【解】 不妨设 a≥b≥c.于是 a＋b≥c＋a≥b＋c. 又∵a≥b≥c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得： b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b， 两式相加得：2(b＋a c＋c＋b a＋a＋c b)≥3.
(2)由(1)b1c≥c1a≥a1b，于是由顺序和≥乱序和得 ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥bb3c53＋cc3a53＋aa3b53 ＝bc32＋ac23＋ab23(因为 a2≥b2≥c2， c13≥b13≥a13)≥cc23＋aa32＋bb23
＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.
变式训练 2 设 a1，a2，…，an 为 1,2，…，n 的一 个排列． 证明：12＋23＋…＋n－n 1≤aa21＋aa23＋…＋aan－n 1. 证明：设 b1，b2，…，bn－1 是 a1，a2，…，an－1 的一 个排列，且 b1<b2<…<bn－1. c1，c2，…，cn－1 为 a2，a3，…，an 的一个排列，且 c1<c2<…<cn－1， 于是c11>c12>…>cn1－1.
由乱序和≥反序和得
a1＋a2＋…＋an－
a2 a3
an
1≥bc11＋bc22＋…＋bcnn－ －11.
∵b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，
cn－1≤n，
∴bc11＋bc22＋…＋bcnn－ －11≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，
即1＋2＋…＋n－1≤a1＋a2＋…＋an－
思考感悟 排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证 明方法吗？ 提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其 他证明方法．
课堂互动讲练
考点突破
用排序不等式求最值 例1 设 a、b、c 为正数，求b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的 最小值． 【思路点拨】 先不妨设定大小顺序，再找b＋1 c， c＋1 a，a＋1 b的大小顺序，用排序不等式证明．
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c，等号成立． ∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最小值为32.
【名师点评】 本题的关键是构造常数， 3＝bb＋ ＋cc＋cc＋ ＋aa＋aa＋ ＋bb＝b＋b c＋b＋c c＋c＋c a＋c＋a a＋a＋a b ＋a＋b b.
变式训练 1 设 a1、a2、a3 为正数，且 a1＋a2＋a3 ＝1，求aa1a3 2＋aa2a1 3＋aa3a2 1的最小值．
由排序不等式可得 a＋abb＋2 c＋a＋bbc＋2 c＋a＋abc＋2 c ≥a＋abb·b＋c c＋a＋bcb·a＋c c＋a＋acb·a＋b c＝abca＋a＋b＋b＋c c， ∴a2b2＋a＋b2bc＋2＋c a2c2≥abc.
误区警示
例 设 ak(k＝1,2，…，n)为实数，ci∈{a1，a2，…， an}(i＝1,2，…，n)，