弹性力学简明教程第四版徐芝纶第八章.ppt

Fz 0,
0
σ z
zz
2 d
F
0;
(c)
第八章 空间问题的解答
由于轴对称，其余的5个平衡条件均为 自然满足。
布西内斯克得出满足上述全部条件的 解答为
u
1 F
2ER
z
R 2
1 2
第八章 空间问题的解答
求解方程
相应的应力为
σx
σy
1
gz
A,
σz gz A,
(c)
yz zx xy 0。
第八章 空间问题的解答
边界条件
（2）在z=0的负z面，应力边界条件为
zx
( z
, zy
) z0
0, z0 q。
(d )
由式(d)求出A，得应力解为
σ x σ y 1 q gz,
按位移求解
§8－1 按位移求解空间问题
在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即
1. 取u,v,w为基本未知函数。 2. 将应变用位移来表示，可以引用 几何方程。 将应力先用应变表示（应用物理方 程），再代入几何方程，也用位移来表示：
第八章 空间问题的解答
按位移求解
σ τ
x
1Eμ
yz
平衡微分方程（书中式（8-4）），并将
s上σ 的应力边界条件 (σs ) f用位移
来表示。
第八章 空间问题的解答
问题
§8－2 半空间体受重力 及均布压力
设有半空间体，受自重体力 fz 及ρ边g 界的均布压力q。
第八章 空间问题的解答
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
第八章 空间问题的解答
第一节 按位移求解空间问题 第二节 半空间体受重力及均布压力 第三节 半空间体在边界上受法向集中力 第四节 按应力求解空间问题 第五节 等截面直杆的扭转 第六节 扭转问题的薄膜比拟 第七节 椭圆截面杆的扭转 第八节 矩形截面杆的扭转 例题 习题的提示和答案 教学参考资料
第八章 空间问题的解答
(d)
第八章 空间问题的解答
按位移求解
归结：按位移求解空间问题，位移
u,v,w 必须满足：
（1）V内的平衡微分方程(b),
（2）sσ 上的应力边界条件(c),
（3）su上的位移边界条件(d)。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
第八章 空间问题的解答
优点
在空间问题中，按位移求解方法尤为要：
1.能适用于各种边界条件。 2.未知函数及方程的数目少。而按应力求
思考题
1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？
第八章 空间问题的解答
2. 若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。
侧压力系数
侧面压力与铅直压力之比，称为侧压 力系数。即
σx σz
σy σz
1
。
(g)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第八章 空间问题的解答
讨论：
当 μ 1 时，侧向变形最大，侧向压力
2
也最大，
σx
σy
σ
。说明物体的刚度极小，
z
接近于流体。
当 0时，正应力不引起侧向变形。
说明物体的刚度极大，接近于刚体。
第八章 空间问题的解答
fz
0,
第八章 空间问题的解答
其中体积应变 u u uz ;
z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 2 1 。
2
（2）Sσ 上的应力边界条件。 （3）Su 上的位移边界条件。
轴对称问题
第八章 空间问题的解答
思考题
1、试导出空间问题中 Sσ上的应力边界条件
（8-4）。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的
E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章 空间问题的解答
V内基本方程
E
21
μ
1 12μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
2 2 2 2 。 x2 y2 z2
第八章 空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：
E 1 μ
l
μ 12μ
u x
m 2
v x
u y
n 2
w x
u z
s
f
。
x
(x, y, z;u,v, w) (在sσ上) (c)
位移边界条件仍为:
us u。 (在su上)
求解条件
（1）平衡微分方程（书中（8-4））
1
1 2
2u
uρ
2
0,
1
1 2
z
2uz
0,
(a)
其中
u u uz 。 z
第八章 空间问题的解答
（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为
σz z0,0 0,
z
0。
z 0, 0
(b)
（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：
3. 试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习 指导”）。
第八章 空间问题的解答
问题
§8-3 半空间体在边界上受 法向集中力
设有半空间体，在o点受有法向集中力F。 本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，
而位移 u ,而0, 和u ρ 应满足uz:
第八章 空间问题的解答
z (q gz),
(e)
yz zx xy 0。
第八章 空间问题的解答
位移解为
w
1
2
12 g E1
z
q
g
2
B。
(f)
其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。
若为半无限大空间体，则没有约束条 件可以确定B；
若z=h为刚性层，则由 (w)zh 0可以确 定B。
第八章 空间问题的解答
解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的
应用。
第八章 空间问题的解答
轴对称问题
按位移求解空间轴对称问题
在柱坐标 (中,，, z)可以相似地导出：
位移 u应ρ ,u满z 足：
（1）V内的平衡微分方程，
E
21
1
1
2
2u
u
2
f
0,
(e)
E
2(1 )
1
1
2
z
2uz
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v 0, wwz。 (a)
第八章 空间问题的解答
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
E
21
1
12
d2 w dz2
d2 w dz2
g
0。
积分两次, 得
w
1 12 2E1
z
A2
B。
(b)