博弈中纯策略纳什均衡点
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大猪和小猪分别采取什么样的策略，且各自的收益分别为多少?
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 6
夫妻爱好问题
OR
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 7
猜钱币游戏
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 8
完全信息静态博弈三要素
• 局中人集合 N {1,2,, n}
局中人集合即博弈参加人的集合。若给定局中人 i，则记 i N \ {i}
剔除占优均衡。
对应{Pi (s) | i 1, 2, , n}称为G 的重复剔除占优均衡结果
。 《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 15
定义2.1.3 重复剔除占优均衡（续）
《智猪博弈》中重复剔除占优均衡： （按，不按）
均衡 结果
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 16
§2.2 纳什均衡
§2.2.1 纯策略纳什均衡 §2.2.2 双矩阵博弈的划线法 §2.2.3 无限策略的纯策略纳什均衡
例2.1.1 智猪博弈 例2.1.2 夫妻爱好问题 例2.1.3 猜钱币游戏 ※完全信息静态博弈的三个基本要素
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 4
智猪博弈
猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈
的一边有一个食槽，另一边安装一个控制按钮
，它能控制食料的供应。按一下按钮有8个单
位的食料进入猪食槽，但需要支付2个单位的
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 9
完全信息静态博弈三要素
完全信息静态博弈就是在上述三要素的基础上，分 析各局中人为实现自身利益最大化的策略行为分析。
简记为： G [N ,{Si },{Pi }]
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 10
§2.1.2 占优均衡
定义2.1.1 严格占优策略 定义2.1.2 占优均衡 定义2.1.3 重复剔除占优均衡
• 策略集 S i
每个局中人 i(i N )有一个策略集Si ，策略集Si ， 可以是有限集，也
可以是无限集，当策略集是有限集时，我们记：
Si
{isi
}
{s1(i
)
,
s(i) 2
,
,
s(i) mi
}
i 1, 2,
n
当每个局中人 s选定一个策略si 后，形成一个策略组合 ，并称为一
个局势，记为： s (s1, s2, , sn ) si Si ,i 1, 2, , n
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 11
定义2.1.1 严格占优策略
在博弈
G
[
N
,
{S
i
},
{Pi
}]
中，若
s (i) k
和
s (i) h
是局中人 i
的两个
策略，对任意策略组合 s 都有：
Pi
(s
||
s
(i k
)
)
Pi
(s
||
s
(i h
)
)
（2.1.1）
iபைடு நூலகம்则称，局中人
的策略
s (i) k
严格占优策略
Si \ {si' }
中任何策略，那么策略组合
s'
(s1'
,
s
' 2
, s n'
)
称为 G 的占优策略均衡，简称占优均衡。对应的
{Pi (s') | i N} 称为占优均衡结果。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 13
定义2.1.2 占优均衡（续）
《囚徒困境》中严格占优均衡： （承认，承认）
均衡 结果
中，若有策略组合
s
(s1
,
s 2
,,
s
n
)
si S i
i 1, 2,
,n
，使得每一个 i ，N 对任意 t (i) Si 都有
Pi (s || t (i) ) Pi (s ) i 1,2,, n
（2.2.1）
G 则称
s
(
s1
,
s
2
,,
s
n
)
博弈论及其应用 第2章 纳什均衡
第2章 纳什均衡
• 主要内容：
§2.1 基本概念 §2.2 纳什均衡 §2.3 混合策略纳什均衡 §2.4 矩阵博弈
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 2
§2.1 基本概念
§2.1.1 基本概念 §2.1.2 占优均衡
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 3
§2.1.1 基本概念
sh(i)，或称策略
sh(i )相
对于sk(i)是严格劣策略。
《囚徒困境》中、犯罪嫌疑人A和B策略（承认）就是一个严
格占优策略。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 12
定义2.1.2 占优均衡
在博弈G [N,{Si},{Pi}]中，若每一个局中人 i
都存在一个策略 si' Si , (i N ) ，使得 si'占优于
《猜钱币游戏》中不存在纯策略纳什均衡点。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 21
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 17
§2.2.1 纯策略纳什均衡
定义2.2.1 纯策略纳什均衡点和均衡结果 定理2.2.1 重复剔除占优均衡与纯策略纳什均衡 ※ 纳什均衡点与多目标规划求解比较
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 18
纯策略纳什均衡点和结果
定义2.2.1 在 n人非合作博弈 G [N,{Si},{Pi}] N {1, 2, , n}
我们也引入如下记号： s || ti (s1, , si1, ti , si1, , sn ) ti Si
显然， s || ti 也是一个局势，且 s || si s。 • 支付函数
每个局中人有一个支付函数。是局势 s 的函数，是局中人在局势下所
能得到的收益。当然，每个局中人都希望自己的尽可能大。
劳动成本。在吃食的过程中，若大猪先到，大
猪能吃7个单位的食料，小猪只能吃1个单位
。若小猪先到，小猪能吃到4个单位的食料，
大猪只能吃4个单位。若两只猪同时到，大猪
吃5个单位，小猪吃3个单位的食料。大猪和
小猪都有两个策略，按或等待。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 5
智猪博弈（续）
两只猪在不同策略下的支付矩阵：
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 14
定义2.1.3 重复剔除占优均衡
在博弈 G [N,{Si},{Pi}] 中，经过重复剔出严格劣策略
后，每个局中人 i 只剩下一个唯一的策略：
si Si (i 1,2,, n)
那么，策略组合 s (s1, s2 , sn ) 称为博弈 G 的重复
是
的一个纯策略纳什均衡点，对应的
{Pi (s ) | i 1,2,, n}
称为对应的均衡结果。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 19
纯策略纳什均衡点和结果
《夫妻爱好》博弈中纯策略纳什均衡点： （足球，看足球）&（看芭蕾，看芭蕾）
均衡 结果
均衡 结果
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 20
纯策略纳什均衡点和结果（续）
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 6
夫妻爱好问题
OR
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 7
猜钱币游戏
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 8
完全信息静态博弈三要素
• 局中人集合 N {1,2,, n}
局中人集合即博弈参加人的集合。若给定局中人 i，则记 i N \ {i}
剔除占优均衡。
对应{Pi (s) | i 1, 2, , n}称为G 的重复剔除占优均衡结果
。 《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 15
定义2.1.3 重复剔除占优均衡（续）
《智猪博弈》中重复剔除占优均衡： （按，不按）
均衡 结果
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 16
§2.2 纳什均衡
§2.2.1 纯策略纳什均衡 §2.2.2 双矩阵博弈的划线法 §2.2.3 无限策略的纯策略纳什均衡
例2.1.1 智猪博弈 例2.1.2 夫妻爱好问题 例2.1.3 猜钱币游戏 ※完全信息静态博弈的三个基本要素
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 4
智猪博弈
猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈
的一边有一个食槽，另一边安装一个控制按钮
，它能控制食料的供应。按一下按钮有8个单
位的食料进入猪食槽，但需要支付2个单位的
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 9
完全信息静态博弈三要素
完全信息静态博弈就是在上述三要素的基础上，分 析各局中人为实现自身利益最大化的策略行为分析。
简记为： G [N ,{Si },{Pi }]
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 10
§2.1.2 占优均衡
定义2.1.1 严格占优策略 定义2.1.2 占优均衡 定义2.1.3 重复剔除占优均衡
• 策略集 S i
每个局中人 i(i N )有一个策略集Si ，策略集Si ， 可以是有限集，也
可以是无限集，当策略集是有限集时，我们记：
Si
{isi
}
{s1(i
)
,
s(i) 2
,
,
s(i) mi
}
i 1, 2,
n
当每个局中人 s选定一个策略si 后，形成一个策略组合 ，并称为一
个局势，记为： s (s1, s2, , sn ) si Si ,i 1, 2, , n
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 11
定义2.1.1 严格占优策略
在博弈
G
[
N
,
{S
i
},
{Pi
}]
中，若
s (i) k
和
s (i) h
是局中人 i
的两个
策略，对任意策略组合 s 都有：
Pi
(s
||
s
(i k
)
)
Pi
(s
||
s
(i h
)
)
（2.1.1）
iபைடு நூலகம்则称，局中人
的策略
s (i) k
严格占优策略
Si \ {si' }
中任何策略，那么策略组合
s'
(s1'
,
s
' 2
, s n'
)
称为 G 的占优策略均衡，简称占优均衡。对应的
{Pi (s') | i N} 称为占优均衡结果。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 13
定义2.1.2 占优均衡（续）
《囚徒困境》中严格占优均衡： （承认，承认）
均衡 结果
中，若有策略组合
s
(s1
,
s 2
,,
s
n
)
si S i
i 1, 2,
,n
，使得每一个 i ，N 对任意 t (i) Si 都有
Pi (s || t (i) ) Pi (s ) i 1,2,, n
（2.2.1）
G 则称
s
(
s1
,
s
2
,,
s
n
)
博弈论及其应用 第2章 纳什均衡
第2章 纳什均衡
• 主要内容：
§2.1 基本概念 §2.2 纳什均衡 §2.3 混合策略纳什均衡 §2.4 矩阵博弈
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 2
§2.1 基本概念
§2.1.1 基本概念 §2.1.2 占优均衡
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 3
§2.1.1 基本概念
sh(i)，或称策略
sh(i )相
对于sk(i)是严格劣策略。
《囚徒困境》中、犯罪嫌疑人A和B策略（承认）就是一个严
格占优策略。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 12
定义2.1.2 占优均衡
在博弈G [N,{Si},{Pi}]中，若每一个局中人 i
都存在一个策略 si' Si , (i N ) ，使得 si'占优于
《猜钱币游戏》中不存在纯策略纳什均衡点。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 21
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 17
§2.2.1 纯策略纳什均衡
定义2.2.1 纯策略纳什均衡点和均衡结果 定理2.2.1 重复剔除占优均衡与纯策略纳什均衡 ※ 纳什均衡点与多目标规划求解比较
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 18
纯策略纳什均衡点和结果
定义2.2.1 在 n人非合作博弈 G [N,{Si},{Pi}] N {1, 2, , n}
我们也引入如下记号： s || ti (s1, , si1, ti , si1, , sn ) ti Si
显然， s || ti 也是一个局势，且 s || si s。 • 支付函数
每个局中人有一个支付函数。是局势 s 的函数，是局中人在局势下所
能得到的收益。当然，每个局中人都希望自己的尽可能大。
劳动成本。在吃食的过程中，若大猪先到，大
猪能吃7个单位的食料，小猪只能吃1个单位
。若小猪先到，小猪能吃到4个单位的食料，
大猪只能吃4个单位。若两只猪同时到，大猪
吃5个单位，小猪吃3个单位的食料。大猪和
小猪都有两个策略，按或等待。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 5
智猪博弈（续）
两只猪在不同策略下的支付矩阵：
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 14
定义2.1.3 重复剔除占优均衡
在博弈 G [N,{Si},{Pi}] 中，经过重复剔出严格劣策略
后，每个局中人 i 只剩下一个唯一的策略：
si Si (i 1,2,, n)
那么，策略组合 s (s1, s2 , sn ) 称为博弈 G 的重复
是
的一个纯策略纳什均衡点，对应的
{Pi (s ) | i 1,2,, n}
称为对应的均衡结果。
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 19
纯策略纳什均衡点和结果
《夫妻爱好》博弈中纯策略纳什均衡点： （足球，看足球）&（看芭蕾，看芭蕾）
均衡 结果
均衡 结果
《博弈论及其应用》 （汪贤裕） 20
纯策略纳什均衡点和结果（续）