结构力学极限荷载

Harbin Institute of Technology

超静定梁中的极限荷

载的研究

课程名称：结构力学

院系：土木工程学院

班级：1433111

姓名：李渊

学号： 1143310120

摘要：大多数工程材料，特别是钢材，受力后发生变形，一般都存在线性弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。因此，随着荷载的增加，结构截面上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服，结构将进入弹塑性状态。这时虽然截面部分材料已进入塑性状态，但尚有相当大的部分材料仍处于弹性范围，因而结构仍可继续加载。当荷载增加到一定程度，结构中进入塑形的部分不断扩展直至完全丧失承载能力，导致结构崩溃(或倒塌)。因此研究结构极限状态下的极限荷载，是十分有必要的，对于结构安全储备的考虑的依据提供有重要意义。

正文：

一、极限荷载的有关意义

定义：结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，称为极限荷载，它是考虑结构安全储备设计依据的因素之一，且按极限状态设计结构比弹性设计更经济。 通过对弹性设计方法及其许用应力设计法的研究，并在其方面进行了探讨，得到弹性设计方法及其许用应力设计法的最大缺陷是以某一截面上的max σ达到[σ]作为衡量整个结构破坏的标准。事实上，由塑性材料组成的结构（特别是超静定结构）当某一局部的max σ达到了屈服应力时，结构还没有破坏，还能承受更大的荷载。因此弹性设计法不能充分的利用结构的承载能力，是不够经济的。

塑性分析考虑了材料的塑性性质，其强度要求以结构破坏时的荷载作为标准：

max []Pu

P p u

F F F k ≤=

其中，Pu F 是结构破坏时荷载的极限值，即极限荷载。u k 是相应的安全系数。

对结构进行塑性分析时仍然要用到平衡条件、几何条件、平截面假定，这与弹性分析时相同。另外还要采用以下假设：

图1

（1）材料为理想弹塑性材料。其应力与应变关系如图所示。（图1）

（2）比例加载：全部荷载可以用一个荷载参数P 表示，不会出现卸载现象。 （3）结构的弹性变形和塑性变形都很小。

从应力与应变图中看出，一旦进入塑性阶段（AB 段），应力与应变不再是一一对应的关系，

D

s

σσ

只有了解全部受力变形过程才能得到结构的弹塑性解答。但塑性分析法只考虑结构破坏状态时对应的极限荷载，所以比弹塑性分析法要简单的多。 值得注意的是，塑性分析只适用于延性比较好的弹塑性材料组成的结构，而不适用于脆性材料组成的结构，也不适用于对变形条件要求较严的结构。

二、相关概念

1、 极限弯矩

（1）屈服弯矩:随着M 的增大，截面最外层纤维处的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作弹性极限弯矩或者屈服弯矩。

e s M W σ=,式中，W 是弹性弯曲截面系数。

（2）极限弯矩: M 不断增大，整个截面的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作极限弯矩。

u s s M W σ=,s W 是塑性截面系数，

其值为等截面轴上、下部分面积对该轴的静矩。可见，纯弯曲时，M 只与材料的屈服应力s σ和截面的几何尺寸、形状有关。剪力和轴力对M 的影响可以忽略不计。

2.塑性铰

（1）概念：当整个截面应力达到屈服极限时，保持极限弯矩不变，两个无限靠近的截面可以发生有限的相对转动，这样的截面称为塑性铰。 （2）塑性较的特点：

①塑性铰可以承受极限弯矩。②塑性铰是单向铰。

③卸载时塑性铰消失。④随着荷载分布的不同，塑性铰可以出现在不同的位置。

3.破坏机构

结构在极限荷载作用下，由于出现足够多的塑性铰而形成的机构叫做破坏机构。破坏机构可以在整体结构中形成，比如简支梁；也可以在结构上的某一局部形成，比如多跨连续梁。同一结构荷载不同时，破坏机构一般也不同。 静定结构在弯矩峰值截面形成一个塑性铰后，就形成破坏机构而丧失承载能力。对于超静定结构，因为有多余约束，要形成足够多的塑性铰才能丧失承载能力，这也是我们在做结构时，要设计成超静定结构的重要原因之一。

三、判定极限荷载时的一般定理

1.极限状态应满足的条件

（1）平衡条件：在结构的极限受力状态中，结构整体及其任一局部都能维持平衡。 （2）屈服条件：在结构的极限受力状态中，任一截面的弯矩绝对值都不会超过其极限弯矩，

即u M M ≤。

（3）单向机构条件：在极限受力状态下，结构已形成足够多的塑性铰而成为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。 2.两个定义

（1）可破坏荷载：对于任一破坏机构，由平衡条件求得的荷载。用P F +表示。

（2）可接受荷载：取结构的弯矩分布，使所有截面弯矩都满足屈服条件，用平衡条件求得的荷载。用P F -表示 3.四个定理

（1）基本定理：P F +≥P F -。

（2）上限定理：极限荷载是可破坏荷载中的最小值。 （3）下限定理：极限荷载是可接受荷载中的最大值。 （4）唯一性定理：一个结构的极限荷载值是唯一确定的。

应当指出的是，极限荷载是唯一的，而其相应的极限内力状态可能不唯一。

四、计算超静定梁的极限荷载的一般方法

1.超静定梁结构极限荷载的计算有以下三个特点：

（1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求F Pu 。

（2）超静定结构极限荷载的计算, 只需考虑平衡条件，而无须考虑变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。

（3）超静定结构极限荷载,不受温度改变,支座移动等因素的影响。 （4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：

①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处。 ②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰只可能出现在固定端处。

2.超静定梁极限荷载的计算方法：

（1）极限平衡法：取破坏机构作为分析对象，让塑性铰处的截面弯矩等于极限弯矩，根据极限状态结构的内力分别情况，利用平衡条件求极限荷载。 在建立破坏机构的平衡条件时，可以直接建立静力平衡条件，也可以采用虚功方程建立平衡。利用虚功方程时，将破坏机构看作刚体系，令其沿荷载作正功的方向发生虚位移，塑性铰截面处的极限弯矩看作外力，并且它与塑性铰转角的转向始终相反，则虚功方程为：

0u i P M θ∆-=∑

（2）穷举法（基于上限定理）：列出结构所有可能的破坏机构，利用平衡条件或者虚功方程一一求出所对应的可破坏荷载，然后取其中的最小值，就是极限荷载。 （3）试算法（基于唯一性定理）选择一个破坏机构，利用极限平衡法求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各个截面弯矩是不是满足屈服条件。如果满足，所得到得破坏荷载就是极限荷载。

应用试算法计算时，应选择外力功较大，极限弯矩做功相对较小的破坏机构进行试算。由这样的破坏机构所求得的可破坏荷载较小，有可能成为极限荷载。