2019-2020年高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质基丛点练理

2019-2020年高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质基丛点练理

1.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.

(1)求证:△ABF∽△CEB;

(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.

(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,

所以∠A=∠C,AB∥CD.

所以∠ABF=∠CEB.

所以△ABF∽△CEB.

(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AD∥BC,AB∥CD.

所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.

因为DE=CD,

所以==,

==.

因为S△DEF=2,

所以S△CEB=18,S△ABF=8.

所以S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.

所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.

2.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.

求证:(1)AB·AC=AD·BC;

(2)AD3=BC·BE·CF.

证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,

所以∠BAC=∠ADB,

又因为∠B=∠B,

所以△ABD∽△CBA,

所以=,

即AB·AC=AD·BC.

(2)由题AD2=BD·DC,

所以AD4=BD2·DC2

=BE·BA·CF·CA

=BE·CF·AD·BC,

所以AD3=BC·BE·CF.

3.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.

(1)求证:△ABF∽△EAD;

(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.

(1)证明:因为AB∥CD,

所以∠BAF=∠AED.

又因为∠BFE=∠C,

∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,

所以∠BFA=∠ADE.

所以△ABF∽△EAD.

(2)解:因为∠BAE=30°,

所以∠AEB=60°,

所以=sin 60°=,

又=,

所以BF=·AD=.

4.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.

(1)求证:OE=OF;

(2)求:+的值;

(3)求证:+=.

(1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC,

所以EF∥AD∥BC.

因为EF∥BC,

所以=,=.

因为EF∥AD∥BC,

所以=.

所以=,

所以OE=OF.

(2)解:因为OE∥AD,所以=.

由(1)知=,

所以+=+==1.

(3)证明:由(2)知+=1,

所以+=2.又EF=2OE,所以+=2,

所以+=.

2019-2020年高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第2节直线与

圆的位置关系基丛点练理

延长线于点E,OE交AD于点F.

(1)求证:DE是☉O的切线;

(2)若=,求的值.

(1)证明:连接OD,

因为OA=OD,所以∠ODA=∠OAD,

因为∠BAC的平分线是AD,

所以∠OAD=∠DAC,

所以∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE.

又因为DE⊥AE,

所以DE⊥OD,

因为OD是☉O的半径,

所以DE是☉O的切线.

(2)解:连接BC,DB,过D作DH⊥AB于H,

因为AB是☉O的直径,

所以∠ACB=90°,

Rt△ABC中,cos∠CAB==.

因为OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,

所以cos∠DOH=cos∠CAB=.

因为Rt△HOD中,cos∠DOH=,

所以=,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,

所以Rt△HOD中,DH==4x,

AH=AO+OH=8x,

Rt△HAD中,AD2=AH2+DH2=80x2,

因为∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°.

所以△ADE∽△ABD,可得=,

所以AD2=AE·AB=AE·10x,而AD2=80x2,

所以AE=8x,

又因为OD∥AE,

所以△AEF∽△DOF,可得==.

2.(xx银川市模拟)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,且AB是圆O的直径,过点D的圆O的切线与BA的延长线交于点M.

(1)若MD=6,MB=12,求AB的长;

(2)若AM=AD,求∠DCB的大小.

解:(1)因为MD为圆O的切线,

所以由切割线定理知

MD2=MA·MB,又MD=6,

MB=12,MB=MA+AB,

所以MA=3,AB=12-3=9.

(2)因为AM=AD,

所以∠AMD=∠ADM,

连接DB,又MD为圆O的切线,

所以由弦切角定理知∠ADM=∠ABD,

又因为AB是圆O的直径,

所以∠ADB为直角,

即∠BAD=90°-∠ABD.

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,

于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,

所以∠BAD=60°.

又四边形ABCD是圆内接四边形,

所以∠BAD+∠DCB=180°,

所以∠DCB=120°.

3.如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC 的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x

+mn=0的两个根.