二次函数之三角形面积最大值专题

432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 2
1ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值
一、知识点睛
1.点P 是抛物线 上一动点。

若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：
2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。

则线段BC= ，AB=
故：“竖直方向”上的线段长 = —
“水平方向”上的线段长 = —
3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，
二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：
S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽
锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线
锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 2
1=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆
三、典例讲解
例1.已知二次函数62
343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。

点P 是第一象限抛物线上一动点。

连结BC ，BP 和CP 。

当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。

四、小试牛刀
例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1
（1）求此抛物线的解析式
（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。

五、能力提升
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34
383y 2--=
x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。

当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.
2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2
x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，
(1)求该抛物线解析式.
(2)求A,C 两点的坐标.
(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.
B C A O M N x
y
3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．
4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.
（1）求抛物线的解析式和对称轴.
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。