第四章 双因素方差分析使用

总和T
ST
rk-1
下结论。
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（二）、双因素等重复试验的方差分析
因素A : A1 , A2 , , Ar . 因素B : B1 , B2 , , Bs .
表 4.8
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
X111, X112 , X121, X122 ,
, X 11t
, X 12t源自文库
X 1s1 , X 1s2 , , X 1st
i1 j1 k1
i 1
s
rs
rt ( X• j• X )2 t
( X ij• X i•• X • j• X )2
j1
i1 j1
ST S E S A SB S AB
误差 平方和 因素 A 的 因素 B 的 因素A,B的交
效应平方和 效应平方和 互效应平方和
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2.研究统计特性
X ijk
j1 k1
X i••
1 st
st
X ijk
j1 k1
X ij•
1t t k1 X ijk
X• j•
1 rt
rt
X ijk
i1 k1
rst
ST
( X ijk X )2 总偏差平方和(总变差)
i1 j1 k1
rst
[( X ijk X ij• ) ( X i•• X ) ( X • j• X )
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三、数学模型
(一). 双因素非重复试验 见教材P195 在一项试验中，设双因素A有r个不同水平A1，…，
Ar， B有s个不同水平B1，…，Bs，在每对组合水平(A1 ，
B1 )下进行一次试验的情形称为双因素无重复试验方差
分析，数据如下：
B水平 A水平
B1 B2
Bs
Xi.
A1
X11 X12 … X1s
A2
X 211, X 212 , X 221, X 222 ,
, X 21t
, X 22t
X 2s1 , X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11 , X r12 , X r21 , X r22 ,
, X r1t
, X r2t
X rs1 , X rs2 , , X rst
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差异?
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考察目的：
1. 试验数据之间的差异是由于随机误差的干 扰（与因素水平的变化无关）引起的， 还是由于因素水平的变化而引起的；
2. 若是随机误差引起的，则此差异可以提高 试验的精度来缩小或消除； 若是因素水平的变化而引起的，是哪些水 平有显著影响。
3. 对此试验选取因素的什么水平，对试验指 标最有利。
B水平 A水平
A1 (0.03) A2 (0.04) A3 (0.05)
B1 (3.3) 63.1 65.1 67.2
B1 (3.42) 63.9 66.4 71.0
B3 (3.5) 65.6 67.8 71.9
B4 (3.6) 66.8 69.0 73.5
问(1)碳与钛的含量对合金钢的强度是否有显著影响? (2)碳与钛的不同水平对合金钢的强度是否有显著差异?
i1 j1 k1
( X ij• X i•• X • j• X )]2
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rst
[( X ijk X ij• ) ( X i•• X ) ( X • j• X )
i1 j1 k1
( X ij• X i•• X • j• X )]2
rst
r
( X ijk X ij• )2 st ( X i•• X )2
1,2,
, s,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立,
由于不存在交互作用, ij 0, ij i j .
X ij i j ij ,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立,
i 1,2, ,r, j 1,2, , s,
r
s
i 0, j 0.
i 1
方差来源 平方和 自由度
因素 A S A
r 1
均方
SA
SA r 1
F比
FA
SA SE
因素 B S B
s1
SB
SB s1
FB
SB SE
交互作用
S AB (r 1)(s 1)
S AB
(r
S AB 1)(s 1)
F A B
S AB SE
误 差 SE
rs(t 1)
SE
SE rs(t 1)
总 和 ST
1)).
取显著性水平为 , 得假设 H02 的拒绝域为
FB
SB SE
F (s
1, (r
1)(s
1)).
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例3 下面给出了在某 5 个不同地点、不同时间空气 中的颗粒状物 ( 以 mg/m3 计 ) 的含量的数据:
因素B(地点) 1 2 3 4 5 Ti•
因 1975年10月 76 67 81 56 51 331 素 1976年 1 月 82 69 96 59 70 376 A 时 1976年 5 月 68 59 67 54 42 290 间 1996年 8 月 63 56 64 58 37 278
ij i j (ij i• • j ) 记为 ij
r i j ij ,
ij 0, j 1, , s
is 1
水平Ai 和水平
B
的交互效应
j
ij 0,i 1, ,r
j1 X ijk i j ij ijk ,
ijk～N (0, 2 ),各 ijk 独立,
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二、利用软件的解决方法
利用软件解决：
双因素无重复分析
1. 进入Excel表处理界面； 2. 按试验所得数据（题目）在Excel表工作区内输入数
据； 3. 在菜单栏类工具菜单中选中数据分析； 4. 在弹出的对话内选择单因素方差分析； 5. 参数设置：数据区域(不包括标题),
选择显著性水平的值，选择输出方差分析表 的方式与区域。确定即可 6. 下结论。
下结论。
rst 1
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F比
因素A S A
r 1
SA
SA r 1
FA
SA SE
因素B SB
s1
SB
SB s1
FB
SB SE
误 差 SE
(r 1) (s 1)
SE
SE (r 1)(s 1)
总 和 ST rs 1
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取显著性水平为 , 得假设 H01 的拒绝域为
FA
SA SE
F (r
1,
(r
1)( s
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记号
1 rs
r i 1
s
ij
j 1
总平均
i•
1 s
s
ij , i
j 1
1,
,r
• j
1 r
r i 1
ij
,
j
1,
,s
i i• , i 1, , r 水平Ai的效应
j • j , j 1, , s
r
i 0,
i 1
水平B j的效应
s
j 0.
j1
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自由度
数学期望
ST rst 1
SE rs(t 1) SA r 1 SB s 1
S AB (r 1)(s 1)
rs(t 1) 2
r
(r 1) 2 st
2 i
i 1 r
(s 1) 2 rt
2 j
i 1
rs
(r 1)(s 1) 2 t
2 ij
i1 j1
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3.确定拒绝域
j1
双因素无重复试验方差分析的数学模型
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检验假设
H 01 H11
:1 : 1,
2
2 ,
r 0, ,r 不全为零.
H 02 H12
: :
1 1,
2
2 ,
,s
s 0,
不全为零.
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表9.15 双因素无重复试验的方差分析表
方差 平方 自由度 来源 和
均方
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无交互作用的两因素方差分析表
方差来源 平方和
因素A （组间）
SA
自由度 r-1
均方 MSA=SA/(r-1)
F比值
F1=MSA/ MSE
因素B （组间）
SB
k-1
MSB=SB/(k-1) F2=MSB/ MSE
误差E （组内）
SE
(r-1) (k-1) MSE=SE/ (r-1) (k-1)
H 02 H12
: :
1 1,
2
2 ,
,s
s 0,
不全为零.
H 03 H13
: 11 : 11,
12 12 ,
, rs
rs 0,
不全为零.
检验步骤 1. 分解平方和; 2. 研究统计特性; 3. 确定拒绝域.
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1.分解平方和
1 r s t
X
rst
i 1
A2 (4)
73,75
76,74
78,77
74,74
A3 (8)
76,73
79,77
74,75
74,73
A4 (12) 75,73
73,72
70,71
69,69
问(1)收缩率和总拉伸倍数分别对弹性是否有显著影响?
(2)收缩率和总拉伸倍数之间交互作用对弹性是否
有显著影响?
(3)收缩率和总拉伸倍数不同水平对弹性是否有显著
第四章 方差分析
一、单因素方差分析 二、两因素方差分析
§2 双因素方差分析
一、问题 二、利用软件的解决方法 三、数学模型与检验法
一、问题 (双因素无重复试验)
1. 为了提高某种合金钢的强度，需要同时考察碳(C)及钛(Ti) 的含量对强度的影响，以便选取含量的成分组合使得强 度达到最大.在试验中分别取因素A(C的含量%)3个水平, 因素B(Ti的含量%)4个水平,在组合水平 (Ai,Bj) ,(i=1,2,3;j=1,2,3,4)条件下分别炼一炉钢,测的其强 度数如下：
FB
SB (s 1) SE (rs(t 1))
F (s
1,
rs(t
1)).
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取显著性水平为 , 得假设 H03 的拒绝域为
FAB
S AB ((r 1)(s 1)) SE (rs(t 1))
F ((r 1)(s 1), rs(t 1)).
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表4.9 双因素试验的方差分析表
假设
X ijk～N (ij , 2 ), i 1, , r, j 1, , s, k 1, , t. 各X ijk 独立, ij , 2均为未知参数.
X ijk ij ijk ,
ijk～N (0,
i 1,2, ,r
2
,
), j
各 1,i2jk,独 立, s,,
k 1,2, ,t.
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双因素可重复分析
1. 进入Excel表处理界面； 2. 按试验所得数据（题目）在Excel表工作区内输入数
据； 3. 在菜单栏类工具菜单中选中数据分析； 4. 在弹出的对话内选择单因素方差分析； 5. 参数设置：数据区域(包括标题),按行（每次试验数据
分行，连续排列） 选择显著性水平的值，样本行数，选择输出方差分 析表的方式与区域。确定即可 6. 下结论。
A2
X21 X22 … X2s
…
…
Ar
Xr1 Xr2 … Xrs
X. j
X.1 X.2 X.s
X
（拉丁方表）
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假 设
Xij～N (ij , 2 ), i 1, , r, j 1, , s. 各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
X ij ij ij ,
i 1,2, ,r, j
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
FA
SA (r 1) ～F (r SE (rs(t 1))
1,
rs(t
1)).
取显著性水平为 , 得假设 H01 的拒绝域为
FA
SA (r 1) SE (rs(t 1))
F (r
1,
rs(t
1)).
类似地, 取显著性水平为 , 得假设 H02 的拒绝域为
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2. 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的二个因素,收缩 率A和总拉伸倍数B，因素A、B各取4钟水平，每种 组合水平重复试验两次，测的数据如下：
(双因素重复试验)
B水平 A水平
B1 (460)
B1 (520)
B3 (580)
B4 (640)
A1 (0)
71,73
72,73
75,73
77,75
T• j
289 251 308 227 200 1275
()
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设本题符合模型中的条件,试在显著性水平为 0.05下检验:在不同时间下颗粒状物含量的均值有 无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有 无显著差异. 在MATLAB中求解 源程序 a=[76,67,81,56,51;
82,69,96,59,70; 68,59,67,54,42; 63,56,64,58,37]; p=anova2(a) 程序运行结果 方差分析表 帮 助
i 1,2, ,r, j 1,2, , s,k 1,2, ,t,
r
s
r
s
i 0, j 0, ij 0, ij 0.
i 1
j1
i 1
j1
双因素试验方差分析的数学模型
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检验假设
H 01 H11
:1 : 1,
2
2 ,
r 0, ,r 不全为零.