第四章 双因素方差分析使用
第四章双因素方差分析
ab
ab
2
(yi y)(yj y)2
(yi y)(yij yi yj y)
i1 j1
i1 j1
ab
2
(yj y)(yij yi yj y)
=0
i1 j1
=0
=0
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
ab
(yiy)(yijyiyj y)
第四章 双因素方差分析
第一节 双因素无重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水 平
A水平 A1
A2
…
双因素无重复实验的典型数据
B1
B2
…
Bj
…
y11
y12
…
y1j
…
y21
y22
…
y2j
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
…
y.j
y.1
y.2
y.j
…
Bb
yi.
y1b
ST
a
i1
b j1
yij2
T2 N
ab
T yij i1 j1
因素A总差分解:
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
a
SAb (yi22yiyy2)
i1
a
a
a
SAb yi22by yib y2
所以 FB Fa(3,6).
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
方差分析第四章双因素方差分析ppt课件
i1j1
i1
ab
Se
(yijyi•y•j y)2
i1 j1
整理版课件
自由度分析TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e(b1)a (1)
i 1
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
i 1
j 1
j 1
b 1 • a y • 1 a y • 2 y a • b ( b y 2 • b y 3 • y b a • )y
整理版课件
三、平方和的简化计算
ST
Se e
VE
SAB
AB
Se
e
■ 3. 判断
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i• y ) 2 (y • j y ) 2 (y i jy i• y • j y ) 2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yi•y)2b (yi•y)2
i1j1
i1
ab
a
SB (y•Jy)2a (y•jy)2
证明交叉项为零:
abr
(yij k yi• j)(yi• jyi••y•j•y)
i 1j 1k 1
ab
r
(yi•jyi••y•j•y) (yi j kyi•j)
i 1j 1
k 1
ab
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素试验方差分析课件
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
双因素重复测量方差应用条件
双因素重复测量方差应用条件1.引言1.1 概述双因素重复测量方差是一种统计分析方法，常用于研究实验中的重复测量数据。
在某些情况下，我们需要考察两个或两个以上因素对实验结果的影响，并希望了解这些因素之间是否存在相互作用。
双因素重复测量方差方法的应用条件是实验数据需要满足一定的前提条件，才能准确地使用该方法进行数据分析。
在具体的应用中，我们需要关注以下几个方面。
首先，实验数据需要满足正态性的要求。
正态性是指数据呈现出类似于正态分布的特征，即数据点在均值附近分布，并且两侧分布的形状对称。
如果数据违背了正态性的假设，那么双因素重复测量方差的应用结果可能会失真。
其次，实验数据需要满足独立性的要求。
独立性是指实验数据的观测值之间相互独立，彼此之间的测量结果不会互相影响。
如果实验数据存在相关性或序列效应，那么我们需要采取相应的方法来处理这种相关性，以确保研究结果的准确性。
此外，实验数据还需要满足方差齐性的要求。
方差齐性是指在不同水平或条件下，方差具有相同的性质，即方差的大小不会因为因素或条件的变化而改变。
如果实验数据的方差缺乏齐性，那么我们需要进行方差分析的修正，以确保分析结果的可靠性。
综上所述，双因素重复测量方差的应用条件包括正态性、独立性和方差齐性。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能准确地使用双因素重复测量方差方法进行数据分析，并得出相关的结论。
这种方法的应用对于揭示实验因素对结果的影响以及因素之间的相互作用具有重要意义，可以帮助研究人员更加准确地理解实验结果的含义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个部分来探讨双因素重复测量方差的应用条件。
首先，我们将在引言中概述本文的背景和目的，为读者提供一个整体的了解。
接下来，将详细介绍双因素重复测量方差的定义和计算方法，以便读者能够理解其数学原理和计算过程。
最后，在结论部分将阐述双因素重复测量方差的应用条件和其对实际问题的实际意义。
在每个部分中，我们将提供清晰的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用所述概念。
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
双因素方差分析流程
双因素方差分析流程双因素方差分析呀，可有趣啦。
方差分析大家可能都有点耳闻，双因素方差分析呢，就是在有两个影响因素的情况下进行的分析哦。
比如说我们想研究不同的教学方法和不同的学习时间对学生成绩的影响，教学方法和学习时间就是这两个因素啦。
那我们开始这个分析流程吧。
一、数据收集。
这可是很重要的一步呢。
我们得先确定好要研究的两个因素，然后针对这两个因素的不同水平组合去收集数据。
就像刚刚说的教学方法和学习时间，教学方法可能有传统教学、多媒体教学、小组合作教学这几种水平，学习时间可能有每天2小时、3小时、4小时这些水平。
然后找一群学生，把他们分别分到这些不同水平组合的组里，最后记录下他们的成绩，这就收集好数据啦。
二、计算平均值。
把收集来的数据按照不同的因素水平组合进行分组，然后计算每组的平均值。
这就像是把同学们按照不同的教学方法和学习时间分好组后，算出每个组的平均成绩。
这个平均值能让我们大概了解每个组的整体情况呢。
三、计算离差平方和。
这一步有点小复杂，但是别怕哦。
我们要计算总的离差平方和、因素A的离差平方和、因素B的离差平方和以及误差的离差平方和。
总的离差平方和就是所有数据与总平均值的差的平方和，它反映了所有数据的离散程度。
因素A的离差平方和呢，是在只考虑因素A的情况下，各水平均值与总均值的差的平方和，它体现了因素A对结果的影响程度。
同理，因素B的离差平方和是考虑因素B时的情况。
误差的离差平方和就是用总的离差平方和减去因素A和因素B的离差平方和得到的，它表示除了这两个因素之外其他随机因素的影响。
四、计算自由度。
自由度这个概念也很有趣呢。
总的自由度等于数据的总数减1。
因素A的自由度等于因素A的水平数减1，因素B的自由度等于因素B的水平数减1，误差的自由度就等于总的自由度减去因素A和因素B的自由度。
自由度就像是给每个部分一个活动的空间，不同的部分有不同的自由度哦。
五、计算均方。
均方就是离差平方和除以自由度啦。
我们要计算因素A的均方、因素B的均方和误差的均方。
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析法非常好的具体实例课件
数据预处理与筛选
02
01
03
对原始数据进行清理和筛选，处理缺失值和异常值， 确保数据质量。
对分类变量进行适当的编码和转换，使其符合分析要求。
对连续变量进行适当的变换，如对数转换或标准化处 理，以满足正态分布和方差齐性的假设。
结果解读与报告撰写
仔细解读双因素方差分析的结 果，包括F值、P值、效应大小 和方向等。
混合类型数据
对于同时包含分类和数值型变 量的数据，如何进行有效的双 因素方差分析是一个值得研究 的问题。
THANK YOU
感谢聆听
结合实际问题和专业知识，对 结果进行解释和讨论，并给出 合理的结论和建议。
按照学术规范撰写报告，注意 逻辑性和条理性，并适当使用 图表和表格来呈现结果。
04
双因素方差分析法的未来发展与展望
技术创新与改进
算法优化
随着计算能力的提升，双因素方差分析算法将进一 步优化，提高分析的准确性和效率。
自动化程度提高
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的影响，并比较各组之间的差异。
适用范 围
当有两个分类变量，且需要探讨它们 对一个连续变量的影响时。
适用于探索两个因素对连续变量的交 互作用和主效应。
优势与局限性
优势
能够全面分析两个因素对连续变量的 影响，并提供交互作用和主效应的估 计。
局限性
当样本量较小或数据不满足方差分析 的前提假设时，分析结果可能不准确。
未来分析过程可能更加自动化，减少人工干预，降 低错误率。
可视化呈现
数据分析结果将以更直观的方式呈现，方便用户理 解和解释。
应用领域的拓展
80%
跨学科应用
双因素方差分析法将应用于更多 学科领域，促进不同学科之间的 交叉融合。
双因素试验的方差分析
第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si i j j s μμ∙==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ∙==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ∙=-, i =1,2,…,r , j j βμμ∙=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ∙∙=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t ∙==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ∙∙===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ∙∙===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()r s tijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x ∙∙∙∙∙分别是μ,μi ·,μ·j,μij 的无偏估计.由 ()()()()i j k i j k i j i j i j i j x x x x x x x x x x x x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-=-+-+-+--+， 1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx ∙===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ∙∙=-∑，S B =21()sj j rtxx ∙∙=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j tx x x x ∙∙∙∙∙==--+∑∑. S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)B ES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111rstijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11s tijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11rtijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S ∙∙∙===∙∙∙∙∙=∙∙∙∙∙=∙∙∙⨯∙==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.S T =22111,r s tijki j k T xrst∙∙∙===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst∙∙∙∙∙=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst ∙∙∙∙∙=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst∙∙∙∙==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x ∙=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ 各相互独立 (9.22) 要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ∙∙=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),r ssT ijA i i j j S xx S s x x ∙====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x ∙∙∙====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92<F B,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.。
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用一、本文概述本文将全面探讨单因素及双因素方差分析及检验的原理及其在统计中的应用。
方差分析是一种在多个样本均数间进行比较的统计方法，其基本原理是通过分析不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果的影响。
单因素方差分析适用于只有一个独立变量影响研究结果的情况，而双因素方差分析则适用于存在两个独立变量的情况。
这两种方法在科学研究、经济分析、医学实验等众多领域具有广泛的应用价值。
本文将首先介绍单因素及双因素方差分析的基本概念和原理，包括方差分析的前提假设、模型的构建以及检验的步骤。
随后，通过实例演示如何进行单因素及双因素方差分析，并解释分析结果的意义。
本文还将讨论方差分析的局限性，以及在实际应用中需要注意的问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握单因素及双因素方差分析及检验的基本原理和方法，了解其在不同领域的统计应用，提高数据分析和处理的能力。
本文还将为研究者提供有益的参考，帮助他们在实践中更好地运用方差分析解决实际问题。
二、单因素方差分析（One-Way ANOVA）单因素方差分析（One-Way ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多独立组之间的均值差异。
这种方法的前提假设是各组间的方差相等，且数据服从正态分布。
在进行单因素方差分析时，首先需要对数据进行正态性和方差齐性的检验。
如果数据满足这些前提条件，那么可以进行单因素方差分析。
该分析的基本思想是，如果各组之间的均值没有显著差异，那么各组内的变异应该主要来自随机误差。
如果有显著差异，那么各组间的变异将大于组内的变异。
单因素方差分析通过计算F统计量来检验各组均值是否相等。
F 统计量是组间均方误差与组内均方误差的比值。
如果F统计量的值大于某个显著性水平（如05）下的临界值，那么我们可以拒绝零假设，认为各组间的均值存在显著差异。
单因素方差分析在许多领域都有广泛的应用，如医学、生物学、社会科学等。
第四章双因素及多因素SPSS方差分析
. 4 t
t .1 d
4 6 1 2 2 6 4 8 h 8 4
e
m SS u C 6 . 0 I3 . T 0 . D 6 . 0 L . T 0 . 6 T . T 3 . L 0 E T 0 C 6 a R 1 4 2 8 3 2 3 7
2 .
v
oq a d o 7 4 6 3 n 0 A 0 9 E 7 9 0 I7 A 0 6 7 A 6 A 8 I3 0 r 0 o o 7 . 3 0 3 0 6 8 6 3
(I) REP 1
2
3
4
5
6
(J) REP 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5
Mean Di fference (I-J) .192 -.167 -.083 .333 .550 -.192 -.358 -.275 .142 .358 .167 .358 .083 .500 .717 .083 .275 -.083 .417 .633 -.333 -.142 -.500 -.417 .217 -.550 -.358 -.717 -.633 -.217
B e t we e n - S u bj e c t s Fa c t o r s 暴露于镉 尘年段 1 2 Value Label 大于等于10年 不足10年 N 12 16
因素变量表
Tests of Between-Subj ects Effects Dependent Variable: VITALCP Source Corrected Model Intercept AGE TIME Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 11.085a 41.936 10.881 .542 13.755 483.625 24.841 df 2 1 1 1 25 28 27 Mean Square 5.543 41.936 10.881 .542 .550 F 10.073 76.216 19.775 .985 Sig. .001 .000 .000 .330
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H 02 H12
: :
1 1,
2
2 ,
,s
s 0,
不全为零.
H 03 H13
: 11 : 11,
12 12 ,
, rs
rs 0,
不全为零.
检验步骤 1. 分解平方和; 2. 研究统计特性; 3. 确定拒绝域.
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1.分解平方和
1 r s t
X
rst
i 1
方差来源 平方和 自由度
因素 A S A
r 1
均方
SA
SA r 1
F比
FA
SA SE
因素 B S B
s1
SB
SB s1
FB
SB SE
交互作用
S AB (r 1)(s 1)
S AB
(r
S AB 1)(s 1)
F A B
S AB SE
误 差 SE
rs(t 1)
SE
SE rs(t 1)
总 和 ST
F比
因素A S A
r 1
SA SE
因素B SB
s1
SB
SB s1
FB
SB SE
误 差 SE
(r 1) (s 1)
SE
SE (r 1)(s 1)
总 和 ST rs 1
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取显著性水平为 , 得假设 H01 的拒绝域为
FA
SA SE
F (r
1,
(r
1)( s
i1 j1 k1
( X ij• X i•• X • j• X )]2
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rst
[( X ijk X ij• ) ( X i•• X ) ( X • j• X )
i1 j1 k1
( X ij• X i•• X • j• X )]2
rst
r
( X ijk X ij• )2 st ( X i•• X )2
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2. 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的二个因素,收缩 率A和总拉伸倍数B，因素A、B各取4钟水平，每种 组合水平重复试验两次，测的数据如下：
(双因素重复试验)
B水平 A水平
B1 (460)
B1 (520)
B3 (580)
B4 (640)
A1 (0)
71,73
72,73
75,73
77,75
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双因素可重复分析
1. 进入Excel表处理界面； 2. 按试验所得数据（题目）在Excel表工作区内输入数
据； 3. 在菜单栏类工具菜单中选中数据分析； 4. 在弹出的对话内选择单因素方差分析； 5. 参数设置：数据区域(包括标题),按行（每次试验数据
分行，连续排列） 选择显著性水平的值，样本行数，选择输出方差分 析表的方式与区域。确定即可 6. 下结论。
差异?
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考察目的：
1. 试验数据之间的差异是由于随机误差的干 扰（与因素水平的变化无关）引起的， 还是由于因素水平的变化而引起的；
2. 若是随机误差引起的，则此差异可以提高 试验的精度来缩小或消除； 若是因素水平的变化而引起的，是哪些水 平有显著影响。
3. 对此试验选取因素的什么水平，对试验指 标最有利。
j1
双因素无重复试验方差分析的数学模型
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检验假设
H 01 H11
:1 : 1,
2
2 ,
r 0, ,r 不全为零.
H 02 H12
: :
1 1,
2
2 ,
,s
s 0,
不全为零.
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表9.15 双因素无重复试验的方差分析表
方差 平方 自由度 来源 和
均方
1)).
取显著性水平为 , 得假设 H02 的拒绝域为
FB
SB SE
F (s
1, (r
1)(s
1)).
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例3 下面给出了在某 5 个不同地点、不同时间空气 中的颗粒状物 ( 以 mg/m3 计 ) 的含量的数据:
因素B(地点) 1 2 3 4 5 Ti•
因 1975年10月 76 67 81 56 51 331 素 1976年 1 月 82 69 96 59 70 376 A 时 1976年 5 月 68 59 67 54 42 290 间 1996年 8 月 63 56 64 58 37 278
自由度
数学期望
ST rst 1
SE rs(t 1) SA r 1 SB s 1
S AB (r 1)(s 1)
rs(t 1) 2
r
(r 1) 2 st
2 i
i 1 r
(s 1) 2 rt
2 j
i 1
rs
(r 1)(s 1) 2 t
2 ij
i1 j1
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3.确定拒绝域
ij i j (ij i• • j ) 记为 ij
r i j ij ,
ij 0, j 1, , s
is 1
水平Ai 和水平
B
的交互效应
j
ij 0,i 1, ,r
j1 X ijk i j ij ijk ,
ijk～N (0, 2 ),各 ijk 独立,
1,2,
, s,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立,
由于不存在交互作用, ij 0, ij i j .
X ij i j ij ,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立,
i 1,2, ,r, j 1,2, , s,
r
s
i 0, j 0.
i 1
i 1,2, ,r, j 1,2, , s,k 1,2, ,t,
r
s
r
s
i 0, j 0, ij 0, ij 0.
i 1
j1
i 1
j1
双因素试验方差分析的数学模型
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检验假设
H 01 H11
:1 : 1,
2
2 ,
r 0, ,r 不全为零.
FB
SB (s 1) SE (rs(t 1))
F (s
1,
rs(t
1)).
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取显著性水平为 , 得假设 H03 的拒绝域为
FAB
S AB ((r 1)(s 1)) SE (rs(t 1))
F ((r 1)(s 1), rs(t 1)).
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表4.9 双因素试验的方差分析表
第四章 方差分析
一、单因素方差分析 二、两因素方差分析
§2 双因素方差分析
一、问题 二、利用软件的解决方法 三、数学模型与检验法
一、问题 (双因素无重复试验)
1. 为了提高某种合金钢的强度，需要同时考察碳(C)及钛(Ti) 的含量对强度的影响，以便选取含量的成分组合使得强 度达到最大.在试验中分别取因素A(C的含量%)3个水平, 因素B(Ti的含量%)4个水平,在组合水平 (Ai,Bj) ,(i=1,2,3;j=1,2,3,4)条件下分别炼一炉钢,测的其强 度数如下：
A2
X 211, X 212 , X 221, X 222 ,
, X 21t
, X 22t
X 2s1 , X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11 , X r12 , X r21 , X r22 ,
, X r1t
, X r2t
X rs1 , X rs2 , , X rst
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总和T
ST
rk-1
下结论。
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（二）、双因素等重复试验的方差分析
因素A : A1 , A2 , , Ar . 因素B : B1 , B2 , , Bs .
表 4.8
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
X111, X112 , X121, X122 ,
, X 11t
, X 12t
X 1s1 , X 1s2 , , X 1st
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二、利用软件的解决方法
利用软件解决：
双因素无重复分析
1. 进入Excel表处理界面； 2. 按试验所得数据（题目）在Excel表工作区内输入数
据； 3. 在菜单栏类工具菜单中选中数据分析； 4. 在弹出的对话内选择单因素方差分析； 5. 参数设置：数据区域(不包括标题),
选择显著性水平的值，选择输出方差分析表 的方式与区域。确定即可 6. 下结论。
i1 j1 k1
i 1
s
rs
rt ( X• j• X )2 t
( X ij• X i•• X • j• X )2
j1
i1 j1
ST S E S A SB S AB
误差 平方和 因素 A 的 因素 B 的 因素A,B的交
效应平方和 效应平方和 互效应平方和
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2.研究统计特性
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记号
1 rs
r i 1
s
ij
j 1
总平均
i•
1 s
s
ij , i
j 1
1,
,r
• j
1 r
r i 1
ij
,
j
1,
,s
i i• , i 1, , r 水平Ai的效应
j • j , j 1, , s
r
i 0,
i 1
水平B j的效应
s
j 0.
j1
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X ijk
j1 k1
X i••
1 st
st
X ijk