信号与系统第一章

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第1章 信号与系统的基本概念
1.14 设某地区人口的正常出生率和死亡率分别为α和β， 第k年从外地迁入的人口为f(k)。若令该地区第k年的人口为y(k)， 写出y(k)的差分方程。 解 设第(k－1)年的总人口数为y(k－1),经一年后净增人口 数为(α－β)y(k－1), 第k年迁入的人口数为f(k), 故第k年的总
利润回报率稳定在β%。试建立预测若干年后该经济开发区拥
有的资金总额的数学模型。
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第1章 信号与系统的基本概念
解 设k年后开发区拥有资金总额为y(k), 第k年投入资金 为f(k)。按题意，第(k－1)年投入资金f(k－1)在第k年度增长为
(1+α)f(k－1), 而资金y(k－2)在第k年度增长为(1+β)y(k－2)。因
人口数为上述三部分之和，即
y(k)=y(k－1)+(α－β)y(k－1)+f(k)
整理得
y(k)-(1+α－β)y(k－1)=f(k)
这是一个一阶差分方程。
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第1章 信号与系统的基本概念
1.15 某经济开发区计划每年投入一定资金，设这批资金 在投入后第二年度的利润回报率为α%，第三年度开始年度的
号。因sint的周期T1=2π s, sin2t的周期T2=π s，且T1/T2=2为有 cosπt的周期T2=2 s, 且T1/T2=π/2 理数, 故f1(t)是周期信号,它的周期为2π s。 (2) 因sin2t的周期T1=π s, 为无理数， 故f2(t)是非周期信号。
(3) 因cost的周期为T1=2π s,
(10) x(t+1) ·y(t－1)。
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第1章 信号与系统的基本概念
题图 1.2
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第1章 信号与系统的基本概念
解 (1) 将x(t)波形右移2个单位,得到题(1)波形如题解图 1.5-1所示。
题解图 1.5-1
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第1章 信号与系统的基本概念
(2) 将x(t)波形右移1个单位,再结合单位阶跃信号的单边特 性，画出题(2)波形如题解图1.5-2所示。
(2) 先画出x(k+2)图形, 并考虑到ε(1-k)=ε［-(k-1)］, 仅在 k≤1时取值为1, 故在x(k+2)图形中, 截取k≤1部分就是题(2)序 列的图形(见题解图1.6-2)。
题解图 1.6-2
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第1章 信号与系统的基本概念
(3) 因为
所以题(3)序列图形如题解图1.6-3所示。
第1章 信号与系统的基本概念
第1章
信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
1.1 绘出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(3-2e-t)ε(t)；
(2) f2(t)=(e-t—e-3t)ε(t)；
(3) f3(t)=e-|t|ε(—t)； (4) f4(t)=cos πt［ε(t—1)—ε(t—2)］； (5) f5(t)=e-tε(cos t)；
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第1章 信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
1.4 判定下列信号是否为周期信号。若是周期信号，则确 定信号周期T。
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第1章 信号与系统的基本概念
解
(1) 若有两个周期分别为T1和T2的连续信号相加，当
T1/T2为有理数时,其和信号亦是周期信号,相应周期为T1和T2的
最小公倍数；否则, 当T1/T2为无理数时,其和信号是非周期信
且T1/T2=
sin
的周期为T2=
为无理数,故f3(t)是非周期信号。
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第1章 信号与系统的基本概念
(4) 在f4(t)中，
的周期分别为 其最小公倍数是1392π,故
f4(t)是周期信号，周期为1392π s。 (5) 信号A sint的周期为2π,自乘三次后，没有改变信号瞬时 值变化周期，故f5(t)是周期为2π s的周期信号。
(6) 因
均是周期为3的周期序列，故f6(k)也是以3为周期的周期序列。
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第1章 信号与系统的基本概念
1.5 已知连续时间信号x(t)和y(t)分别如题图1.2(a)、(b)所示， 试画出下列各信号的波形图： (1) x(t-2)； (3) x(2-t)； (5) y(t+2)； (7) y(-2-t)； (9) x(t)+y(t)； (2) x(t-1)ε(t)； (4) x(2t+2)； (6) y(t+1)ε(-t)； (8) y( －1)；
解 此题练习离散信号的图形表示方法。要求熟悉常用指 数和正弦序列的图形表示、阶跃序列的定义和基本性质以及序
列平移和翻转操作对序列图形的影响。
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.2
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第1章 信号与系统的基本概念
1.3 试写出题图1.1各信号的解析表达式。
题图 1.1
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第1章 信号与系统的基本概念
号，其冲激强度取决于信号值跳变的方向和幅度。
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.7
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第1章 信号与系统的基本概念
1.8 已知信号f(t+1)的波形如题图1.4所示，试画出 的波形。
题图 1.4
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第1章 信号与系统的基本概念
解 首先，应用信号平移、展缩操作，由f(t+1)波形画出 波形，然后求导并画出 的波形。具体过程参见题解图1.8。
解 为简化微、积分算符表示，本题采用第2章将要介绍 的微、积分算子概念求解。画出p算子电路模型如题解图1.13
所示，图中i1(t)和i2(t)为网孔电流。列出网孔方程：
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.13
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第1章 信号与系统的基本概念
因为
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第1章 信号与系统的基本概念
所以
电路输入输出方程为
第1章 信号与系统的基本概念
y(k)的一阶后向差分:
y(k)的迭分:
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第1章 信号与系统的基本概念
1.10 画出下列各信号的波形图： (1) f1(t)=ε(t2-4)；
(2) f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1);
(3) f3(k)=ε(k2-4)； (4) f4(t)=δ(2t-4)。
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题图 1.5
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第1章 信号与系统的基本概念
解 对题解图1.12， 写出节点a的KCL方程: i=is—iL 或写成 iL=is—i 写出节点b的KCL方程:
① ②
③
写出回路l的KVL方程: ④
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第1章 信号与系统的基本概念
(1) 将式④代入式③得 ⑤ 再将式②代入式⑤, 整理得以i为输出时的输入输出方程:
(6) f6(t)=(1—
)［ε(t+2)—ε(t—2)］；
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第1章 信号与系统的基本概念
(7) f7(t)=3ε(t+1)—ε(t)—3ε(t—1)+ε(t—2)； (8) f8(t)=e-t+1ε(t—1)；
(9) f9(t)=cosπt［ε(3—t)—ε(—t)］；
(10) f10(t)=r(t)—r(t—1)—r(t—2)+r(t—3)，式中r(t)=tε(t)。
(2) 将式①代入式④得 ⑥ 再将式③代入式⑥, 并整理得以u为输出时的输入输出方程为
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.12
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第1章 信号与系统的基本概念
1.13 如题图1.6所示电路，输入为us(t), 试写出u(t)为输出 时电路的输入输出方程。
题图 1.6
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第1章 信号与系统的基本概念
后，
再左移1个单位；或者按照“平移-展缩”方式，先将x(t)波形 左移2个单位,再将波形“压缩” 形绘制过程如题解图1.5-4所示。 ，均可画出题(4)波形。波
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-4
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第1章 信号与系统的基本概念
(5) 将y(t)波形左移2个单位，即得题(5)波形(见题解图 1.5-5)。
第1章 信号与系统的基本概念
解 (1) f1(t)=ε(t2-4),波形如题解图1第1章 信号与系统的基本概念
(2) f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1),波形如题解图1.10-2所示。
题解图 1.10-2
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第1章 信号与系统的基本概念
(3) f3(k)=ε(k2-4), 波形如题解图1.10-3所示。
题解图 1.5-8
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第1章 信号与系统的基本概念
(9) 两个连续信号相加,任一时刻的和信号值等于两信号在 该时刻的信号值之和。题(9)信号波形如题解图1.5-9所示。
题解图 1.5-9
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第1章 信号与系统的基本概念
(10) 两个连续信号相乘，任一时刻的积信号值等于两信 号在该时刻的信号值之积。题(10)信号波形如题解图1.5-10 所示。
题解图 1.10-3
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第1章 信号与系统的基本概念
(4) f4(t)=δ(2t-4)=
δ(t-2),波形如题解图1.10-4所示。
题解图 1.10-4
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第1章 信号与系统的基本概念
1.11 计算下列各题。
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第1章 信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
1.12 如题图1.5所示电路，输入为is(t)，分别写出以i(t)、 u(t)为输出时电路的输入输出方程。
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第1章 信号与系统的基本概念
题图 1.3
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第1章 信号与系统的基本概念
解 与连续信号类似,对于序列信号,也可以应用图形翻转、 平移操作，结合信号的基本运算，直接画出给定序列的图形。 (1) 将x(k)图形左移2个单位,画出题(1)序列图形如题解图 1.6-1所示。
题解图 1.6-1
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-5
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第1章 信号与系统的基本概念
(6) 将y(t)波形左移1个单位，再截取t<0部分，即为题(6)波 形(见题解图1.5-6)。
题解图 1.5-6
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第1章 信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-7
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第1章 信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-10
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第1章 信号与系统的基本概念
1.6 已知离散时间信号x(k)和y(k)分别如题图1.3(a)、(b)所 示，试画出下列序列的图形：
(1) x(k+2)；
(2) x(k+2)ε(1-k)； (3) y(k)［ε(k-1)-ε(-k-1)］； (4) y(k)-y(-k)； (5) x(k)+y(k)； (6) x(k+2)y(k-2)。
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.8
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第1章 信号与系统的基本概念
1.9 分别计算题图1.3中信号x(k)、y(k)的一阶前向差分、一 阶后向差分和迭分。 解 x(k)的一阶前向差分:
x(k)的一阶后向差分:
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第1章 信号与系统的基本概念
x(k)的迭分:
y(k)的一阶前向差分:
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题解图 1.5-2
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第1章 信号与系统的基本概念
(3) 由于x(2-t)=x［-(t-2)］,故可将x(t)波形“翻转”后，再 右移2个单位,画出题(3)波形如题解图1.5-3中的f3(t)所示。
题解图 1.5-3
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第1章 信号与系统的基本概念
(4) 按照“展缩-平移”方式，将x(t)波形“压缩”
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.6-3
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第1章 信号与系统的基本概念
(4) 先画出y(k)、y(-k)图形，然后进行相减运算，得到题 (4)序列图形如题解图1.6-4所示。
题解图 1.6-4
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第1章 信号与系统的基本概念
(5) 和序列图形如题解图1.6-5所示。
题解图 1.6-5
此，k年后开发区拥有的总资金额可表示为
y(k)=(1+β)y(k－2)+(1+α)f(k－1)+f(k)
或写成
y(k)－(1+β)y(k－2)=f(k)+(1+α)f(k－1)
显然，这是一个二阶差分方程。
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第1章 信号与系统的基本概念
解 此题练习连续信号的波形图表示方法。除应熟悉常用 连续指数、正弦和斜升信号波形外，还应特别注意阶跃函数的
基本性质以及信号平移、翻转操作对信号波形的影响。
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第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.1
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第1章 信号与系统的基本概念
1.2 绘出下列信号的图形：
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第1章 信号与系统的基本概念
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第1章 信号与系统的基本概念
(6) 先画出x(k+2)、y(k-2)图形，再进行相乘运算，画出积 序列图形（见题解图1.6-6）。
题解图 1.6-6
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第1章 信号与系统的基本概念
1.7 已知信号x(t)、y(t)的波形如题图1.2所示，分别画出 的波形。 解 通过观察x(t)和y(t)波形，直接画出 波形(见题解图1.7)。应特别注意，当x(t)、y(t)的信号值发生跳 变时, 会在相应时刻的 波形中呈现冲激信