复杂应力状态分析2(应力圆法)

二、应力圆的画法: y x y
y

D(x ,xy)
xy x
x D′(y ,yx)
C

1、以 为横坐标，以为纵坐标，建立坐标系；
2、截面D （x ，xy） ，D′ （y ，yx）在应力圆上，在坐标 系上先作出D、D ′两点； 3、连接D、D ′，交横轴于C点，则C点坐标： ( x y 2 2 CD=CD′= ( ) xy 2
y
σ1 x
yx
y

σ3 x
A x D′ 2o2 C
A 2 xy 0 B 0
D
20 B

σ1
σ3
y
主单元体
★第二主平面为A点所对应的平 面，即与应力圆中D→B → A 相同转向，一半转角( o 90o)所对应的平面，如图示。
3、主单元体的确定 先确定主平面B、A的位置，然后作出主单元体，如图示。
1
y B py
2
2
σ3
pz C z
O 3
px A
x
（A） OCA的面积为ndA OAB的面积为ldA
y B py 2
1
pz C z
O
3
px A
x
X 0 Y 0 Z 0
（B）平衡方程
p x dA 1 mdA 0
p y dA 3 ndA 0 pz dA 2 ndA 0
A点：
2 27.6( MPa) 3 0
max 22.4( MPa)
§7-5
三向应力状态的特例分析
一、三向应力状态的特例分析
主应力状态----即三个主应力均为已知且不为0的应力状态。
Ⅰ
σ3
2 1
σ3
Ⅰ
1

2

2
2
σ3
σ3
1、与某一主应力平行的斜截面上的应力 从右往左看，如上图所示、可简 1）与1 平行的面： 化为2 、3作用的二向应力状态
50
20 σ1 30 x
D′（50，20）
σ2
σ1
σ2
0
A
20
C

B
3、主应力及主单元体
C（40，0）
D（30，-20）
r 22 .4
o wenku.baidu.com31.7o
4、最大剪应力
B点： 1 40 22.4 62.4( MPa) A点： 2 40 22.4 17.6( MPa) 3 0 主单元体如上图示
D(D ′)

1 3 0
2 max 0
点圆！
σ1
60 20 σ2 40

D（40，20）
031.70
A
20 C
σ3 σ1
解：1、作应力圆
C（50，0） r 22 .4
B
D ′（60，-20）
2、求主应力，作主单元体
o 31.7 o
B点：
1 72.4( MPa)
y
x
B
y

E
xy x
0
2 x A C
D 20 B
y
D′
A、B对应的截面为主平面，相应的应力值为主应力的大小 主应力 B点： 1 A点： 3 （对应于上图）
主平面的位置 1、D点对应的是法向n为x轴的平面
2、B点对应的是法向n与x轴成0的主平面 3、A点对应的是法向n与x轴成( o 900)的主平面 ★第一主平面为B点所对应的平面 ，即与应力圆中D→B相 同转向，一半转角0 所对应的平面


CL10TU71
) (
2 2 n
2 3
) 2 l 2 ( 1 2 )( 1 3 )
max
2 3 2 2 2 3 2 ( n ) n ( ) 2 2 3 1 2 2 3 1 2 ( n ) n ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 ( n ) n ( ) 2 2
max 32.0( MPa)
min 32.0( MPa)
习作 作出图示应力状态的应力圆，确定主单元体、主应力及
最大剪应力。(单位Mpa）
20 60
20
40
σ1
20
σ3
D（0，20）
450
A
C
900
B

σ3
C（ 0， 0）
σ1
D′（0，-20）
r 20
o 45o

1 2
2

1 2
2
cos 2

推论：
1 2
2
sin2
三向应力中，若已知一个主平面、主应力，则
1）当成二向应力状态处理； 2）恢复三向应力状态。 50 例题 求图示应力状态的三个主应 力的大小及主平面的位置 80
y 50 80
从右往左看

x
1 80MPa
3 50MPa
2 50MPa
主单元体
2
3
y
3

45 0
x
2
2、与三个主平面相交的任意斜截面上的应力 1）任意的斜截面 法向n，三个方向余弦m、 n 、 l
σ3
2 1
则： l 2 m 2 n 2 1
2）斜截面切单元体，取其中的 一部分，考虑其平衡 3）斜截面上的应力n、n可分解 为px、py、pz 。 设ABC的面积为dA，则 OBC的面积为mdA 1
Ⅱ
σ3
2 1
σ3
Ⅱ
1

1

1
2
σ3
σ3
2）与2 平行的面： 从前往后看，如上图所示、可简化为1 、 3作用的二向 应力状态
y
σ3
2 1
1
σ2


1
1
Ⅲ
x
2
σ3 n
Ⅲ
σ2
3）与3 平行的面：
从上往下看，如上图所示、可简化为2 、 1作用的 二向应力状态
4）与Ⅲ平行的一系列平行平面（与3 平行的面） 与x轴的夹角为a，则
B点： A点：
1 20( MPa)
3 20( MPa) 2 0 max 20( MPa) 主单元体如上图示
C
C（/2，0） r / 2 D′（0，0）

D（ ， 0）
1 3 0

2 0 max / 2




结论：
σ3
σ2
σ1
任意斜截面上的应力，都落在图示阴影部分内，既阴影部 分内每一个点与一个截面上的应力相对应。 三、一点处应力状态中的 最大剪应力
max
1 3
2
★与二向应力状态中最大剪应力的区别： 二向应力中的最大剪应力仅是在面内，而三向应力中的最大 剪应力是空间范围内，即它是一点上真正的最大剪应力。
y
σ1 x
yx
y
σ3
x
A
max
G
2 o 2 C
1
A 2 xy 0 B 0
D 20 B
x D′

σ1
σ3
y
主单元体
min
G2
4、最大剪应力、最小剪应力及所在的平面 在应力圆上，最大、最小剪应力对应的点为G1、G2，其值为： i j x y 2 max 1 2 ) xy CD DD' ( 2 2 2 min 其位置在与B点所对应的截面成45o的截面上!
第七章
复杂应力状态分析
§7-4 二向应力状态分析---图解法 §7-5 三向应力状态特例分析
§7-5
二向应力状态分析----图解法
一、应力圆: 二向应力状态如图，任意斜截面上，其应力为 x y x y cos 2 xy sin2 2 2 y

例如
一点的应力状态为二向应力，若i≥j>0 ，则
面内：
'max
i j
2

1 2
2
三维空间中：
max
1 3
2
一点的最大剪应力应是指三维空间中的最大剪应力，即
1 3 max 2
1. 一点处的应力状态如图所示，试用应力圆 求主应力。


2. 一点处的应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试用应力圆求主应力及其作用平面。
2 2 2 2 2 2 p p p p （C） x y z n n
整理后，斜截面上的应力n、n满足以下三个式子：
( n
2 3
2 2 3 1 2 3 1 2 2 ( n ) n ( ) m 2 ( 2 3 )( 2 1 ) 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ( n ) n ( ) l ( 3 1 )( 3 2 ) 2 2
x A
C
20
B

σ1
σ3
r 32 .0
D（50，-20）
2、主应力及主单元体
B点： 1 25 32.0 57.0( MPa) A点： 3 25 32.0 7.0( MPa)
o 19.33o
3、最大剪应力
2 0
20 tan 2 o 0.8 50 25
max 22.4( MPa)
例题2 试求图示应力状态的： 1）作出应力圆；
2）确定主应力并作出主应力状态（主单元体）； 3）最大剪应力。 20 50 解：1、作应力圆
D′（0，20）
单位：MPa B 2、作出主单元体
A
C
D（50，-20）
σ3
y
20 σ1 0 50

D′（0，20）
三、应力圆的应用:
y
x y
y

E 2 x A D′ C
n
xy x
D
B
1、任意的斜截面上的应力
在应力圆上以D为始点，与相同的转向转过2角，得点E，则 E点坐标（ ，） ，即为斜截面上的应力。
2、主平面及主应力 应力圆与横轴交于A、B两点，与A、B相对应的截面上0
例题1 试求图示应力状态的：
1）图示截面上的应力； 2）主平面位置、主应力大小并用图表示；
3）最大剪应力。(单位Mpa）
50 20
300 30
50 20
300 30

D′（50，20）
A
C

B
60o 解：1、作应力圆
D（30，-20）
E
2、30o斜截面上的应力 1 r (50 30) 2 [20 ( 20)]2 22.4 C（40，0） 2 则E 点坐标： E（52.3，-18.7）
x y
2
sin2 xy cos 2
y

n
( (
x y
2
2
)
2 2 xy
2
x y
xy x
x
x y
2
(
)
★过点A，任意斜截面上的应力（ ，） ，都在以 ( 为圆心，半径为
x y
2
,0)
x y
2
2 ) 2 xy 的圆上，此圆称为应力圆
x y
2
, 0)

y x y
4、应力圆圆心 (
y
D
xy x
C
x D′

x y
2
, 0)
半径
(
x y
2
2 ) 2 xy
即C点为应力圆的圆心，DD ′是应力圆的一条直径； 5、以C 为圆心，CD为半径作圆，即为该应力状态的应力圆； 6、应力圆上的每一点对应一个截面，过一点的所有截面的应力 均体现在应力圆上。