北师大版-数学-八年级上册--例题与讲解-第四章 4一次函数的应用

【例题与讲解】八年级数学上册 第四章 4一次函数的

应用

1．确定一次函数表达式

(1)借助图象确定函数的表达式

先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y ＝

kx (k ≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y ＝kx 或y ＝kx ＋b 中，求出其中的k ，b ，即可确定出其关系式．

(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件

①由于正比例函数y ＝kx (k ≠0)中只有一个未知系数k ，故只要一个条件，即一对x ，y 的值或一个点的坐标，就可以求出k 的值，确定正比例函数的表达式．

②一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个未知系数k ，b ，需要两个独立的关于k ，b 的条件，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x ，y 的值．

【例1】 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )．

A ．y ＝－32

x ＋3 B ．y ＝32x ＋3 C ．y ＝－23x ＋3 D ．y ＝23

x ＋3 解析：设直线AB 对应的函数表达式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝0时，y ＝3，代入得b

＝3，当x ＝2时，y ＝0，则2k ＋3＝0，k ＝－32，故y ＝－32

x ＋3. 答案：A

点技巧 用待定系数法求直线解析式

由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式，再将A ，B 两点坐标代入该关系式，即可求出k ，b ，从而确定出具体的关系式．

2．待定系数法

(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的

方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．

(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：

①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程(组)，得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．

【例2－1】一次函数图象如图所示，求其解析式．

分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b 的值，从而确定表达式．

解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，

∵一次函数图象过点(0，－2)，

∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.

∵一次函数图象过点(1,0)，

∴0＝k×1＋b，

∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.

【例2－2】在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值．

解：根据题意，得

2k＋b＝0①，b＝2, km＋b＝3②，

把b＝2代入①，得2k＋2＝0，即k＝－1；

把b＝2，k＝－1代入②，得m＝－1.

故函数的表达式为y＝－x＋2.

3．一次函数的实际应用

(1)通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．

释疑点函数图象中的特殊点

观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很

大的帮助．

(2)一次函数图象的应用

一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．

谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式

在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【例3－1】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.

(2)请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；

②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．

(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．

解：(1)2 10

(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.

(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．

故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．

【例3－2】某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：

(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？