高三数学总复习-空间向量

当前

形势

空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分

高考要求

内容

要求层次

具体要求

A B C

证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质

平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量

线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角

北京高考解读

2006年2007年2008年2009年2010年（新课标）

17题

（14分）

17题

（14分）

16题

（14分）

16题

（14分）

16题

（14分）新课标剖析

满分晋级

第14讲空间向量

立体几何9级

立体几何之角度

距离问题

立体几何10级

空间向量与立体

几何综合

立体几何11级

立体几何综合

1

立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版

2

立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版

空间中的点面距离：

空间中的角与空间中的位置关系

空

间向量与立体几何

⑴体积法 ⑵空间向量法：定点A 到平面的距离，可设平面的法向量为n ，面内点B ， 点到平面的距离为

AB n n

⋅

直线的方向向量与平面的法向量的概念； （设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，

） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ； 线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+； （其中m n ，

为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直与线线所成角：1

2l l 1

2120v v v v ⇔⇔⋅=；

12cos cos v v θ=〈〉，（θ为12l l ，

的夹角，π02θ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，）； ⑶线面垂直与线面所成角：1l α⊥11v n ⇔∥；

11cos sin v n θ=〈〉，（θ为1l 与平面α所成的角，

π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，）

； ⑷面面垂直与面面所成角（二面角）：

12120n n n n α

β⇔⇔⋅=；

12cos cos n n θ=〈〉，（θ为平面α，β所生成的二面角， [)0πθ∈，）

知识点睛

3

立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版

【例1】 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥．底

面ABCD 为梯形，AB DC ∥，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．求证：PD ∥平面EAC ．

【例2】 ⑴ 如左图已知正方体，E 、F 分别为线AD 、11B C 上的动点，则异面直线EF 与1CD 所成

的角为 ．

⑵ 如右图已知直三棱柱111ABC A B C -，AB AC ⊥，11AC AB AA ===，M ，N 分别为线

AB 、AC 上的动点，M ，N 两点满足11B N C M ⊥，则线段MN 最小值为 ．

F

E

A 1

B 1

C 1

D 1

A B

C

D M

N

A 1

B 1

C 1

B

A C

【例3】 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底

面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． ⑴ 求证：AC SD ⊥；

⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得

BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在， 试说明理由．

空间向量解决平行垂直问题

考点1：

经典精讲

1.1 平行垂直问题

P

D

C

B

A S

E

D

C

B

A

P

4

立体几何（下）·第1讲·提高-尖子-目标·教师版

设直线1l 、2l 的方向向量分别是1v 、2v ，平面α、β的法向量是1n 、2n ； ⑴ 线线角：

设1l 和2l 所成的角为θ，则π02θ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，，根据方向向量的方向不同，可以得到：

12v v θ〈〉=，

或12πv v θ〈〉=-，； ∴121212

cos cos v v v v v v θ⋅=〈〉=⋅，

；

⑵ 线面角：

设1l 和α所成的角为ϕ，则π02ϕ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，，根据方向向量的方向不同，可以得到：

11π2v n ϕ〈〉=+，或11π

2

v n ϕ〈〉=-，；

∴11

1111

sin cos v n v n v n ϕ⋅=〈〉=⋅，；

⑶ 面面角：

设α、β所成的角为φ，则[)0πφ∈，，根据方向向量的不同，可以得到： 12n n φ〈〉=，

或12πv v φ〈〉=-，； ∴121212

cos cos n n n n n n φ⋅=〈〉=⋅，

；

与线线角和线面角有所区别的是，求二面角的余弦值cos φ时，计算出1212

n n n n ⋅⋅之后还要

简单判断一下二面角是否为钝角，才能知道cos φ的符号．

【例4】 如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2， M 是PC

的中点．

⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值．

空间向量解决角度问题

考点2：

经典精讲

1.2 角度与距离问题

A B

C

D

P

M