卡氏第二定理线性弹性体对于线性弹性体

2.914F 2l
2EA
C
3、利用功能原理求位移
U
W

1 2
F Dy
1
3
5
l
A
2
4
B
D
1 2
F Dy
2.914F 2l 2EA
第十三章 能量法
第13-1 能量法概念 第13-2 应变能与余能的计算 第13-3 互等定理 第13-4 卡氏定理 第13-5 利用卡氏定理解超静定问题
§13-1 能量法概念
一、外力功与应变能（变形能） 弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相
应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功， 用符号W 表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变 能（变形能），用符号U 表示。
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
2 2G 2
应变能： U uV 1V
2
y
dy
x
dx
3. 圆轴扭转时的变形能
a. 扭矩为常量
dx
段的应变能：
dU

1 2
FN
EA
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
FN
FF
FN (x) FN (x) dx
x
FN (x)
dU

1 2
FN
(x) (dx)

FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2

0l
M 2( x)dx 2EI

0l
M02dx 2EI

M02l 2EI
b
Uc

0l
M 2( x)dx 2EI

0l ( Px
M0 )2 dx 2EI

0l
1 2EI
(
P
2
x2

2PxM0

M
2 0
)dx
c
P 2l 3 PM0l 2 M02l 6EI 2EI 2EI
从中可看出 Uc Ua Ub
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。
例 直角水平圆截面折杆 ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭 刚度为 GIp。试求 C 处的垂直位移。
解 1、内力分析
BC杆： M ( x) Px
AB杆： M ( x) Px Mn Pl
x x
2、变形能计算
二、能量守恒原理 在弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U(不考虑
能量的损耗)。因此有 W=U 。
三、能量法
利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力 等计算的方法称为能量法。
§13-2 应变能与余能的计算
一、外力功
F
1. 常力作功（F 为恒力）
W F
F
2. 变力作功（F 从0逐渐增加到最终值）
U
FN2 (x)dx
M
2 n
(
x)dx

M 2 (x)dx
l 2EA l 2GI p l 2EI
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例 试分别计算图示各梁的变形能
解：求各梁的变形能
Ua

0l
M 2( x)dx 2EI

0l
(
Px)2 2EI
dx

P 2l3 6EI
a
Ub
(Mn

m,

Mnl ) GI P
应变能： U 1 F 1 m M n2l
2
2
2GI p
b. 扭矩为变量：
应变能：
U

l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
4. 杆件受弯曲时的变形能
a. 纯弯曲时： (M m0 ,
应变能： U 1 F 1
2
2
Ml ) EI
m0
M 2l 2EI

P 2l 3 3EI

P2l 3 2GI P
3、利用功能原理求位移
U
W

1 2
P
Cy
P2l3 3EI
P2l3 2GI P

P 2

Cy
,
x
Cy

2Pl 3 3EI

Pl 3 GI P
x
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求D点的 垂直位移。
解 1、各杆内力
C
FN1 FN 5
A
q
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
b. 横力弯曲时（剪力 FS 的影响忽略）
应变能：
M 2( x)dx U l 2EI
一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上
面积分应分段进行，然后求出其总和。
q
F
5. 组合变形时的应变能
杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆 件内同时有轴力FN(x)，扭矩Mn(x)，弯矩M(x)和剪力FS(x)存在。在忽略 了剪力FS(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：
（线弹性体）
F1
W
dW

0
F1d1

1 2
F
式中： F — 广义力（力、力偶）
dW
o

1 d1
—广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是 线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就 是角位移（在力偶作用处的角位移）。
U BC

0l
(
Px )2 2 EI
dx

P 2l 3 6 EI
U AB

0l
(
Px )2 2 EI
dx

( Pl )2 l 2GI P

P 2l 3 6 EI

P2l 3 2GI P
总变形能为：
U
U BC
U AB

P 2l 3 6EI

P 2l 3 6EI

P 2l 3 2GI P
三、余功、余能
F
非线性弹性体
1、非线性弹性体
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1

W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*

1 2
F11
W*
W
0

四、利用功能原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
二、应变能及比能（线弹性体）
1. 轴向拉伸与压缩时应变能
a. 轴力为常量：
FN

F, l

FN l EA
应变能： U W 1 Fl FN2l
2
2EA
比能 ：
uU V

FN2 2EA2

2
2E

1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
b.轴力为变量：
dx 段的伸长为：(dx) FN (x)dx
2 F, 2
FN 2

FN 4

1 2
F.
2、应变能计算
FN 3 F ,
A
1
3
5
l
2
4
B
D
F
l
l
U 5 FN2j l j
j1 2EA
( 2 F )2 2 2
2EA 2.914F 2l
2EA
2l
(1 F)2l 2 2

F 2l
2EA 2EA
5
U
FN2j l j
j1 2EAj