等差数列知识点总结与基本题型

等差数列知识点总结与基本题型

一、基本概念

1、等差数列的概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

（2）对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。

（3）0d

>⇔等差数列为递增数列

0d =⇔等差数列为常数列 0d <⇔等差数列为递减数列

（4）一个等差数列至少由三项构成。

2、等差数列的通项公式

（1）通项公式：1(1)n a a n d =+-，（当1n =时，等式也成立）；

（2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由1234,,,,

a a a a 归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。

②迭加法：也称之为逐差求和的方法：2132,,a a d a a d -=-= 431,,n n a a d a a d --=-=，上述式子相加，1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-。 ③迭代法：1223()2()2n n n n n a a d a d d a d a d d ----=+=++=+=++

313(1)n a d a n d

-=+==+-。 （3）通项公式的应用与理解

①可根据d 的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。

②用于研究数列的图象。

11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，

∴（Ⅰ）0d ≠时，n a 是n 的一次函数，由于n N *∈，因此，数列{}n a 的图象是直线1()n a dn a d =+-上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。

（Ⅱ）0d =时，1n a a =，表示平行于x 轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。

③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：11(1)n

a a n d d n a d =+-=+-，n a 是关于n 的一次式()n N *∈，所以等差数列的通项公式也可以表示为n a pn q =+（设1,p d q a d ==-）。 ④等差数列具有下列关系：

（Ⅰ）数列中任意两项n a 与k a ，满足：()n

k a a n k d =+-或n k a a d n k -=-。 （Ⅱ）在等差数列中，若m n p q +=

+，则m n p q a a a a +=+。 3、等差数列的等差中项

（1）定义：如果,,a A b 成等差数列，那么

A 叫做a 与b 的等差中项。 （2）充要条件：,,a A b 成等差数列2

a b A +⇔=

。 （3）推论：{}n a 是等差数列212n n n a a a +++⇔=。 4、等差数列的主要性质

①若2(,,)m n

k m n k N *+=∈，则2m n k a a a +=。 ②{}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即

1211n n i n i a a a a a a -+-+=+=

=+=。 ③若

{}n a 为等差数列，则123456789,,a a a a a a a a a ++++++，…仍构成等差数列。 ④{}n a 是等差数列，则135,,,

a a a 仍成等差数列。 ⑤下标成等差数列且公差为m 的项：2,,,

(,)k k m k m a a a k m N *++∈组成公差为md 的等差数列。 ⑥数列{}n a b λ+（,b λ为常数）是公差为d λ的等差数列。

二、基本题型

例1、判断下列数列是否是等差数列：

（1）43n a n =+；（2）22n a n n =+。

分析：用定义去判断。

解：（1）[]14(1)3(43)4n n

a a n n +-=++-+=，∴数列{}n a 是等差数列。 （2）由22n a n n =+得1233,8,15a a a ===，则21325,7a a a a -=-=，2132a a a a -≠-，∴数列{}n a 不是等差数列。

评注：如果判断一个数列为等差数列，需用定义去证明，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值说明即可。

例2、求等差数列10,8,6,

的第20项。 解：10(1)(2)212n a n n =+--=-+，202201228a ∴=-⨯+=-。

例3、在等差数列{}n a 中，已知51a =-，82a =，求1a 与d 。

解：由题意知：11(51)1(81)2

a d a d +-=-⎧⎨+-=⎩解得15,1a d =-=。

例4、已知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列，且241,1a a ==，求10a 。

分析：有的同学习惯于数列{}n a 等差数列，对于1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。 解：∵1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列，42111)1)22d a a ∴-==-=-=， 1d ∴=-，又

21111a a =-

，1211111)12a a ∴=+==+=，

1

11(1)2(1)(1)3n n d m n a a ∴=+-=+--=-+，

1011037a ∴=-+=

，则10747a ==-。 例5、等差数列{}n a 中，已知23101136a a a a +++=，则58a a += 。

分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出1211a d +的值。

解法1：根据题意，有1111()(2)(9)(10)36a d a d a d a d +++++++=，

142236a d ∴+=，则121118a d +=。而58111(4)(7)211a a a d a d a d +=+++=+，因此，5818a a +=。

解法2：根据等差数列性质，可得5

831021136218a a a a a a +=+=+=÷=。 评注：解法1设出了1,a d 但并没有求出1,a d ，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法2实际上运用了等差数列的性质：若p q m n +=+，,,,p q m n N *∈，则m n p q a a a a +=+。

例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。

分析：若设这三个数为,,a b c ，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为,,a d a a d -+，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。

解：设这三个数为,,a d a a d -+，由题意得222()()9()()35a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩解得