2020高一数学必修一：对数运算与对数函数(1对1讲义)

对数运算与对数函数
一、知识梳理
1、对数的概念
①、定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数
①、①底数的取值范围：),1()1,0(+∞ ；①真数的取值范围,0(+∞
①、指数式与对数式的互化：
例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=
242
1= ⇔2
1
2log 4=
; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 注意：负数与零没有对数 ①、几个重要性质： (1)01log =a ，(2)1log =a a
(3)对数恒等式:如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ①、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对
数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.
①、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN
例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10 2、对数的运算法则： 1
、
log ()log log a a a MN M N
=+
log (
)log log a a a M
M N N
=- log log n m a a m
M M n
=
对数换底公式：
a
N
N m m a log log log =
( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)
证明：设 a log N = x , 则 x a = N
两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=
从而得：a N x m m log log = ① a
N m m a log log = 2.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a
① b m
n
b a n a m log log =
（ a, b > 0且均不为1） 【例题精讲】 一、指数对数的互化
例1、完成下列指数式和对数式的互化
（1）1642= （2）100102= （3）2
1
2log 4= （4）201.0lg -= （5）01ln =
同步练习
1、完成下列指数和对数的互化
（1）1024210
= （2）9273
2= （3）2
1
10lg = （4）4625log 5=
总结：指数式与对数式的互化中底数位置不变，其他的两个数互换位置。

二、对数的运算
例2、计算下列各式的值：
（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+； （2）5log 233
3338log 9
32
log 2log 2+-+-；
（3）40lg 5lg 250lg 2lg 22⋅+⋅；
（4）27
1
log 81log 251log 5
32⋅⋅；
（5）).8log 4)(log 9log 3(log 9382++
总结：当对数的底数相同时，直接利用对数的运算法则进行运算，注意真数之间的联系（若不会找联系可以利用公式将真数化为质数来运算）；当对数的底数不同时，可以考虑利用对数的运算法则第三条或换底公式将底数变成相同再继续运算。

同步练习2
（1）222
lg5lg8lg5lg20(lg2)3
+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
（3）3
log 12.05- （4） 2
194log 2log 3log -⋅
三、对数的互相表示
例3、（1）已知2log 3=a ，53=b ，用b a ,表示30log 3；
（2）设b a ==3lg ,2lg ，用b a ,表示12log 5； （3）已知b a ==5log ,9log 22，用b a ,表示75log 2．
例4、已知a log x=b+a log c ，求x
分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式
同步练习3
已知 （1）b a ==4log ,7log 33，求14log 9
（2）已知,518,9log 18==b a 求45log 36
题型二、对数函数
1、对数函数一般形式： x y a log = (a>0且a≠1)
2、对数函数的定义域：(0,+ ∞)、值域：(0,+ ∞)、过定点：（1，0） 图象如右图：
单调性： 1＞a ,在R 上为增函数
10＜＜a ，在R 上为减函数 值分布： 当时且1,1>>x a y>0 当时且1,10><<x a y<0 当时且10,1<<>x a y<0 当时且10,10<<<<x a y>0
一：对数函数的图像：
例1、图中的曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值为2、3
4、5
2、6
1
四个值，则相应于曲线
1C 、2C 、3C 、4C 的a 的值依次为【 】 A ．2、3
4、5
2、6
1 B ．3
4、2、6
1、5
2
C ．2、34、61、52
D ．34、2、52、61
例2、作出下列函数的图像
x y x y x y lg ),lg(,lg )1(-=-==；x y lg )2(=；x y lg 1)3(+-=
同步练习
1、若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2、若14
3log <a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．)4
3,0( B ．),43(+∞ C ．)1,43( D ．)4
3,0(),1(+∞
3、)10(1log )
12(≠-=+a a y x a 且＞恒过定点
二：对数函数的定义域、值域
y
x
例1、求下列函数的定义域
①()()2log 1+=-x y x ① 1
21
log 8.0--=x x y
练习1、()()2
11log -=+x y x 2、)34(log 25.0x x y -=
例2、求下列函数的值域
①1log 2-=x y ① ]8,0(,log 2
1∈=x x y
练习1、()1log 2-=x y 2、()()532log 22-≤--=x x x y
总结：对数函数的定义域为),0(+∞，值域为R ，在求解时需要先求出真数部分的范围再进行求解 同步练习
1.已知)13(log -a a 恒为正数，那么实数a 的取值范围是( )
A.a ＜
31 B. 3132<<a C.a ＞1 D. 313
2
<<a 或a ＞1 2．函数)(x f 的定义域是(0，1)，若)]1([log )(2
1-=x f x F ，则函数F (x )的定义域
是 。

3、函数)176(log 22
1+-=x x y 的值域是 。

三、对数函数的单调性
例1、比较下列各组数中的两个值大小：
(1)log 23.4，log 28.5 (2)log 0.31.8，log 0.32.7
（3）log a 5.1，log a 5.9(a>0且a≠1) （4）6log ,6log ,7log 7.076
总结：在对数比较大小时，若底数相同，可以结合单调性进行比较；若底数不同，真数相同，可以结合图像进行比较；若底数和真数都不相同可以结合图像或者找中间量（如0或1等）进行比较 同步练习：
1、比较下列各组数的大小：
（1）1.0log ,2.0log 3.03.0 （2）4log ,4log 2.21.2（3）5.1log ,1.1log 2.39.0
例2、求函数)32(log 25.0--=x x y 的单调递增区间
同步练习2：的单调区间求函数)54(log 22.0++-=x x y
例3、（1）解不等式：0)22(log 22
1＞--x x
（2）解不等式：)10()
2(log )4(log 2≠+-a a x x a a 且＞＞
．
同步练习3：解下列不等式：
（1）)102lg()43lg(2+≥--x x x ； （2）；＞0)22(log 21.0--x x
（3））＞为常数且（1),1(log )(log 2a a x x x a a +≥-
例4、证明函数上是增函数.
例5、已知函数在[0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围。

同步练习：
1、若3]2,[)10(log )(差为上的最大值是最小值之在＜＜a a a x x f a =，则a=
2、讨论函数的单调性)1(log -=x a a y
3、已知函数=)(x f lg
x x +-11+2
1
+x ，x①(－1，1 )，问y =f (x) 的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使A B①y 轴，若存在，求A 、B 的坐标，若不存在，说明理由．
题型三总结：利用函数的单调性可以：①比较大小；①解不等式；①判断单调性；①求单调区间；①求值域和最值.要求学生：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
【课堂练习】
)ax 2(log y a -=
1、已知1
1log )(--=x mx
x f a
是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；
（2）讨论)(x f 的单调性；
（3）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.
2、对于函数)32(log )(22
1+-=ax x x f ，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；
小结：
1、涉及到函数的单调性证明时直接利用定义比较真数部分的单调性，再利用同增异减判断整个函数的单调性，同时不要漏掉定义域。

2、涉及奇偶性问题也是利用定义，不过在处理时一般选用
)()()()(x f x f x f x f --+-或形式来进行计算，对数的加减形式可以利用对数的运
算性质合并。

3、定义域、值域问题逆向求解参数范围时，注意转化为定义域或者值域的包含关系来解决。

课后作业：
1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）
（A ）a -2 （B ）3a -(1+a)2 （C ）5a -2 （D ）3a -a 2
2.2log a (M -2N)=log a M+log a N,则N
M 的值为（ ） （A ）4
1 （B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga y a n x
log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m -n （C ）21(m+n) （D ）2
1(m -n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ）
（A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）35
1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 21
-等于（ ）
（A ）31 （B ）321 （C ）221 （D ）3
31 6．函数y=lg （
112-+x
）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log (2x -1)23-x 的定义域是（ ）
（A ）（
32，1）⋃（1，+∞） （B ）（2
1，1）⋃（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2
1，+∞） 8．函数y=log 2
1(x 2-6x+17)的值域是（ ） （A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞]
9．函数y=log 2
1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）
（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2
1］ 10．函数y=(2
1)2x +1+2,(x<0)的反函数为（ ）
（A ）y=-)2(1log )2(21
>--x x （B ）)2(1log )2(21>--x x
（C ）y=-)252(1log )2(21
<<--x x （D ）y=-)252(1log )2(2
1<<--x x 11.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）
（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<1
12.log a 13
2<，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（3
2，+∞） （C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（3
2，+∞） 13．若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ）
（A ）a<b<c （B ）a<c<b （C ）c<b<a （D ）c<a<b
14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A ）y=log 2
1(x+1)（B ）y=log 212-x （C ）y=log 2x 1（D ）y=log 21(x 2-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）
（A ）y=2x x e e -+（B ）y=lg x
x +-11（C ）y=-x 3 （D ）y=x 16．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a 1+x 是（ ）
（A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数
（C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数
17．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（ ）
（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M
18．“等式log 3x 2=2成立”是“等式log 3x=1成立”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
19．已知函数f(x)=x lg ,0<a<b,且f(a)>f(b)，则（ ）
（A ）ab>1 （B ）ab<1 （C ）ab=1 （D ）(a -1)(b -1)>0
二、填空题
1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。

2．函数y=log (x -1)(3-x)的定义域是 。

3．lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。

4.函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数。

5．已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2+4x+5),则f(3)与f （4）的大小关系为 。

6．函数y=log 2
1(x 2-5x+17)的值域为 。

7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。

8.若函数y=lg[x 2+(k+2)x+4
5]的定义域为R ，则k 的取值范围是 。

9．函数f(x)=x x
10110+的反函数是 。

三、解答题
1．若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。

2．已知函数f(x 2-3)=lg 622
-x x ,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)
若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。

3．已知x>0,y ≥0,且x+2y=21,求g=log 2
1(8xy+4y 2
+1)的最小值。