第5章 哈密顿力学

y A yB 0, 且 y 是任意的,(这属于不动边界变分条件) d f f 0 dx y ' y 欧勒方程
例：求最速落径方程 1 y '2 d f f 解：已知 f ， 根据欧勒方程 0. 2 gy dx y y f 1 1 y '2 3/ 2 f 1 y ; (1 y '2 ) 1/ 2 y y 2 2g y 2 gy 1 1 y '2 3/ 2 d 1 2 1/ 2 (1 y ' ) y y 0 dx 2 gy 2 2 g 1 1 1 2 (1 y '2 ) 3/ 2 y 0 y (1 y ' ) C1 2 3 2 gy 2 2 g (1 y ' ) y 引入参数 ，使 y ' ctg y C1 C1 (1 cos 2 ) 2 1 ctg 2 dy sin 2 d 2sin cos d 而 dx C1 C1 2C1 sin 2 d y' ctg ctg C 积分得: x dx C1 (1 cos 2 )d 1 (2 sin 2 ) C2 2 C C 最速落径的参数方程为 : x 1 (2 sin 2 ) C2 ; y 1 (1 cos 2 ) 2 2
哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势.
§5-2 广义动量和相空间
1. 背景 通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难 度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将 导致求解难度大不相同。 如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是 系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它 就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能 发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特 征进行把握的理论上的要求所在。
1 1 1
x2
x2
x2
f
f


x2
x1
f d f d f y y y dx dx y ' dx y ' y
x
2 x2 d f f f y ydx 0 x 1 y ' dx y ' y x1
s
q dt 0
q 是任意的
d L dt q
L 0 q
( 1, 2...s)
三. 哈密顿原理的意义
哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自 然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由 原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。
s

t2
t1
L L dt q q q 1 q
s
s
t 0
q d q dt

t2
t1
L d L d L q q dt q 1 q dt q
xA xB
o
A x
1 2g

xB
xA
1 y '2 dx T y( x), y ( x) y
B y
显然这是一个泛函(即函数的函数)。
现在的任务是寻找一个函数,使泛函 T [ y ( x)] 取极值，即从众多 的函数中找出一条路径使时间最短. 设泛函T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
s L L p q H ( q, p, t ) L q 1 q 1 s
(q, p, t ), t p q (q, p, t ) L q, q
1
s
注意只有在把广义速度换成广义动量后, H 才能被称为哈密 顿函数，就物理意义来讲它是能量的含义，特别是作为系统 力学信息的集中载体而称之为哈密顿量。
因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何— 物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可 以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就 可以有任意大的差别）。
这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简 单，但是难点在于保持新方程组的对称性。哈密顿方程组 （正则方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计 算上办法更多(当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子)。
二. “最小”作用原理
根据经典力学的基本假设,系统某时刻(t1 )从 的真实轨道 q(t) 是唯一的.经典力学的目标就 是从所有连接q A到q B满足给定约束条件的可能轨 道中找出一条满足力学规律的"真实"轨道来.
真实轨道
t2,qB
(q A )出发,到另一时刻(t2 )到达(q B ),中间所经历
例：求连接两点之间最短长度的曲线 解：S S[ y ( x)] ds
xB
xA

1 y2 dx; f 1 y '2
要使泛函S取极值,函数f 必须满足欧勒方程: d f f 0 dx y y d f y =0 y=0 y =c1x+c2 2 3/ 2 dx y (1 y ' ) 该曲线必须通过两个端点的坐标:(xA ,y A ),(xB ,y B ) yB y A xB y B x A y B y x xB x A xB x A 显然证明了连接两点长度最短的曲线为直线
2. 广义动量
定义广义动量
L p q
=1,2...s
由q 和 p 组成的空间称作相空间, 因而相空间是2s维空间, q 和 p称作共轭变量
p L , t ) p (q, q q
=1,2...s
q (q, p, t ) q
=1,2...s
哈密顿函数 广义坐标 广义动量 (共 2s 个) 系统特性函数 独立变量
哈 密 顿 表 述
哈密顿正则变量
运动方程是广义坐标和广义动量 的一阶微分方程组(共 2s 个)
哈密顿力学
推广至统计力学和量子力学
可进行更广泛的“坐标”变换
§5-1 哈密顿原理
从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程, 实际上还是以 牛顿定理为基础的, 是一种与牛顿力学完全等价的表达方式.
x2 x1
f ( y, y',x )dx 可以证明泛函 T [ y ( x )] 取极值的条件是其
变分为零,即 T 0 （变分算符和微分算符的运算相似）
T f ( y, y',x)dx f ( y, y',x )dx y y ' dx x x x y ' y
源自文库
**4. 勒让德变换
勒让德变换 旧系统
F F (u1, u2 ,...un )
F vi ui
新系统
G G(v1, v2 ,...vn )
G ui vi F
1
s
假定由 F 对 ui 的二阶偏微商组成的行列式不等于零, 这时才可以解出 ui 作为 vi 的函数
从哈密顿原理出发, 也完全可以导出拉格朗日方程和正则 方程, 并建立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是更普遍的原理 ，这种方法具有公理性的特点， 这也说明科学的统一和和谐. 自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的 运算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛 函和变分问题.
q(t)
t1,qA
引入一个轨道相关的函数(物理上称为作用量,数学上称为泛函)： S
t2
t1 ( q ( t ))

L(t )dt
最小作用原理 : 对给定初末态,系统的真实演化轨道使作用量取 极值(极大或极小或常点，通常为极小),即其变分为零： S=0
三. 哈密顿原理
由最小作用原理导出运动方程需通过数学上称为变分的方法,通常假 定变分路径由每一时刻坐标变量的一个独立的小变化( q(t))构成,时 间的变分为零( t=0),即等时变分.等时变分下的最小作用原理一般称 为哈密顿原理.
q dt
L q q
t2
t1

t2
t1
L d L dt q 1 q
s
q dt
q

t2 t1
t1
q
t2
0
L d L dt q 1 q
t1 t2
下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保 守力系，拉格朗日函数可以形式地假设为
1 , q 2 q s , t ) L L(q1 , q2 qs , q
)dt S L(q,q,t
t1 t2 t2
t1
L L L t dt q q q t 1 q
一. 变分问题的欧勒方程
1、最速落径问题 铅直平面内在所有联结二个定点 A 和 B 的曲线中，找出一 条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自 A 点沿 它无摩擦地下滑时，以最短时间到达 B 点。 解：这是泛函极值问题。 速度 v 与坐标 y ( x) 的关系 : v 2 gy , (dx) 2 (dy ) 2 1 y '2 ds 而 v dx, dt dt dt 质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为 T dt
对完整保守力系，假定拉格朗日量可以表示为 L(q,q,t) ，并定义 , t )dt 哈密顿作用函数：S L(q, q
t1 t2
哈密顿原理 : 在 t1 和 t 2 时刻, q(t1 )和q(t2 )相同（即端点固定） , 在 约束许可的一切可能路径 q (t ) 中, 使作用函数取极值的路径为物 , t )dt 0 理上可以实现的真实运动路径： S L(q, q
如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称 性，自然成为人们的焦点。
另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之 q, q 处，就是没有充分表达出 在因果关系上的独立性。作为初 q q (0), q (0) 始条件， 总是可以独立给定的，可是在方程中 是 作为q的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以 取代“初始时刻”，这种方程中的主从关系显然是对现实的一 种扭曲表达。
第 5章
哈密顿力学
§5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程
§5-4 正则变换
完整,理想,保守系 拉格朗日函数 广义坐标(s个) 系统特性函数 独立变量(运动学)
拉 格 朗 日 表 述
运动方程是广义坐标的二 阶微分方程组 广义坐标 广义速度 独立变量(动力学)
拉格朗日变量
完整,理想,保守系
利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普 遍物理意义。
3. 哈密顿函数
在拉格朗日力学中曾定义:
) L H (q, q
L const q 1 q
s
但那里 H 是作为 L 在不显含 t 时的能量积分（守恒量）引进 的。现在进一步地把 H 定义为(选择广义坐标和广义动量作为 独立变量)系统的特性函数----哈密顿函数