第5章 哈密顿力学
第五章8分析力学哈密顿变换
第五章8分析力学哈密顿变换哈密顿变换（Hamiltonian transformation）是在分析力学中常用的一种数学方法，用于将拉格朗日方程转化为哈密顿方程，从而简化问题的求解过程。
哈密顿变换的基本思想是引入广义动量，并通过变换，将拉格朗日方程中的速度和位置变量替换为位置和动量变量。
本文将介绍哈密顿变换的基本原理和应用。
1.哈密顿原理在分析力学中，我们通过拉格朗日方程描述了系统的运动规律。
但是，拉格朗日方程涉及到速度和位置变量的导数，求解起来可能较为困难。
哈密顿变换通过引入广义动量，将速度和位置变量替换为位置和动量变量，从而简化了问题的求解过程。
哈密顿原理可以表示为：对于系统的所有可能路径，作用量的变分是零。
其中，作用量定义为S = ∫L(q, q', t)dt，L是拉格朗日函数，q为广义坐标，q'为广义速度。
2.广义动量的定义在哈密顿变换中，我们引入广义动量p，定义为p=∂L/∂q'。
广义动量p可以看作是速度和位置变量q的函数关系。
3.哈密顿函数的定义哈密顿函数H定义为H(q,p,t)=p·q'-L(q,q',t)。
其中，p·q'表示广义动量p和广义速度q'的内积。
4.哈密顿方程利用广义动量和哈密顿函数的定义，可以得到哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q这两个方程可以看作是广义速度和广义坐标的微分方程，在一定条件下可以求解得到系统的运动规律。
5.哈密顿变换的应用哈密顿变换广泛应用于分析力学和量子力学等领域中。
在分析力学中，哈密顿方程可以用于求解经典力学系统的运动规律。
通过哈密顿方程，我们可以得到系统的状态随时间的演化，以及各种物理量的变化规律。
在量子力学中，哈密顿方程被用于描述量子系统的演化。
量子力学中的哈密顿函数由于涉及到算符和波函数的耦合，与经典力学中的哈密顿函数有所不同。
通过求解哈密顿方程，我们可以得到量子系统的能级和波函数等重要信息。
哈密顿力学
哈密顿力学《哈密顿力学》是现代力学的基础，回顾整个物理学发展史，其地位可谓不可替代。
它的发现者哈密顿用其独特的思维方法，对动能定律、动量定律等物理定律进行整体性概括，从而构建了物理学的新学科力学，为后来研究研究阿基米德力学等提供了坚实的基础。
哈密顿力学，又称“哈密顿原理”，指的是哈密顿研究运动学规律的结果，是现代物理学中对运动学定律进行系统综合的理论，属于力学的范畴。
它是由英国物理学家哈密顿在18世纪末发现的，是古典力学的基础理论。
它将动能定律和动量定律统一起来，将运动学的定律完整地表达出来，从而构建了力学的完整的理论体系。
哈密顿力学的基本原理是：某物体总把其完全内在的能量（总能量）保持恒定，即总能量守恒原理。
它能够比较准确地描述系统中每一粒粒子的运动轨迹，从而使物理定律具有了更高的普遍性、深刻性和准确性，可以精确地描述出在各种环境、各种物理条件下，物体形成的一系列运动模式。
在哈密顿力学的体系中，系统的总动量和总动能均保持不变，满足动量守恒定律和能量守恒定律。
哈密顿力学对物体运动的描述进一步概括，构成了动量定律、能量定律等力学定律。
这一理论，无论是从力学定律上还是从动量定律上，均有着极其重要的影响，这与哈密顿在力学史上的地位是一致的。
哈密顿力学的研究，为现代科学的发展做出了重要的贡献，它的发现为现代物理学的发展奠定了坚实的基础，为物理学家研究经典力学和量子力学奠定了基础。
它也为新物理学的发展提供了指导性的理论，这种理论指导可以帮助物理学家更好地理解复杂的物理现象，深入探究它们背后的奥秘，从而为新兴物理学的发展提供新的借鉴和灵感。
哈密顿力学是力学研究的基础，其发现使物理学从蒙古病变解脱出来，使力学取得了显著的发展，开启了物体运动规律和物性研究的新纪元。
哈密顿力学的研究在现代物理学发展史上具有重要的地位，它具有极大的价值，为促进现代物理学的发展做出了不可磨灭的贡献。
理论力学课后答案第五章
第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
理论力学题库第五章
理论力学题库——第五章一、填空题1. 限制力学体系中各质点自由运动的条件称为 。
质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。
2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。
3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。
4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为 约束。
5. 哈密顿正则方程的具体形式是 和 。
5-1. n 个质点组成的系统如有k 个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的. 5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为 完整约束 .5-3自由度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 . 5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。
5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。
5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。
5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力（主动力 + 惯性力）的总虚功等于 零 。
5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 （或：主动力+拉氏力）。
5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。
5-11.勒让德变换就是将一组 独立 变数变为另一组 独立 变数的变换。
5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。
5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。
5-14. 泊松定理可表述为：若21),,(,),,(c t p q c t p q ==ψϕ是正则方程的初积分，则 []3c ,=ψϕ 也是正则方程的初积分.5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： ],[H p pαα= ； ],[H q q αα= 。
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
理论力学(第三版)第5章第7节哈密顿原理
第五章 分析力学
拉格朗日
哈密顿
§5.7 哈密顿原理
本节导读
• 泛函 变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因端点是固定的, 所以
δq tt1 δq tt2 0
( 1,2,, s)
t2
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因p, q在积分范 围内是任意的, 而且 相互独立, 故得
q
H p
p
H
q
变分运算法则
小结
注意:
δ
dq dt
t2 s
δ
p q H dt 0
t1 1
因为H是p, q, t 的函数, 并且t = 0 , 所以
t2
t1
s 1
p δq
δp q
H p
δp
H q
δq
dt
0
又
s
p δq
1
s 1
p
d dt
δq
d dt
s 1
p δq
s 1
p δq
s
1
p δq
t2 t1
t2
以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变, 位形空间中的代表点就描出相应曲线. 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
第5章 哈密顿力学
o
A x
1 2g
xB
xA
1 y '2 dx T y函(即函数的函数)。
现在的任务是寻找一个函数,使泛函 T [ y ( x)] 取极值，即从众多 的函数中找出一条路径使时间最短. 设泛函T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
第 5章
哈密顿力学
§5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程
§5-4 正则变换
完整,理想,保守系 拉格朗日函数 广义坐标(s个) 系统特性函数 独立变量(运动学)
拉 格 朗 日 表 述
运动方程是广义坐标的二 阶微分方程组 广义坐标 广义速度 独立变量(动力学)
拉格朗日变量
完整,理想,保守系
s
q dt 0
q 是任意的
d L dt q
L 0 q
( 1, 2...s)
三. 哈密顿原理的意义
哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自 然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由 原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。
s L L p q H ( q, p, t ) L q 1 q 1 s
(q, p, t ), t p q (q, p, t ) L q, q
第五章5分析力学5.5 哈密顿正则方程.ppt
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
哈密顿力学
dH ∂H = dt ∂t
也就是说，哈密顿函数 中不显含时间 中不显含时间t， 也就是说，哈密顿函数H中不显含时间 ， ∂H =0 ∂t 则有 dH =0 H = h 表示一积分常数 dt 广义能量守恒 由拉格朗日动力学可知 稳定约束： 稳定约束：
H = T + V 体系机械能守恒
不稳定约束： 不稳定约束： H = T2 − T0 + V 广义能量守恒
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂q ∂q
& qα , pα , t ⇒ L = L[qα , qα (q, p, t ), t ]
s & ∂qβ ∂L & = pα + ∑ pβ ∂qα ∂qα β =1
s & ∂qβ ∂L = ∑ pβ ∂pα β =1 ∂pα
qα , pα , t ⇒ H [qα , pα , t ]
s ∂H ∂H ∂H dH = ∑ dqα + ∑ dpα + dt ∂t α =1 ∂qα α =1 ∂pα s
& H = ∑ pα qα − L
α =1
s
& & dH = ∑ pα dqα + ∑ qα dpα − dL
s s ∂L ∂L ∂L & & & = ∑ pα dqα + ∑ qα dpα − ∑ dqα + ∑ dqα + dt & ∂t α =1 α =1 α =1 ∂qα α =1 ∂qα s s
s & ∂qβ ∂L = ∑ pβ ∂pα β =1 ∂pα
∂ & ∑1 pβ ∂q = ∑1 ∂q ( pβ qβ ) β= β= α α
哈密顿力学的应用
哈密顿力学的应用哈密顿力学是经典力学中的重要分支，它以数学方式描述了物体力学性质的演化规律。
哈密顿力学的应用领域广泛，涉及天体力学、量子力学、统计力学等多个领域。
本文将从三个方面介绍哈密顿力学在物理学中的应用。
一、天体力学中的哈密顿力学天体力学研究天体运动和动力学过程，是天文学中的关键分支。
哈密顿力学在天体力学中的应用尤为重要。
它通过引入广义坐标和广义动量，可以将物体的运动状态用哈密顿函数来描述。
通过求解哈密顿量的哈密顿方程，可以得到天体的轨道和动力学性质。
这种方法在研究天体运动中起到了重要的作用。
例如，通过求解三体问题的哈密顿方程，可以预测行星的运动轨迹和周期。
此外，哈密顿力学还可以研究恒星运动、星际物质分布等问题。
通过应用哈密顿力学理论，天体物理学家们能够更好地了解宇宙的运行机制和演化历史。
二、量子力学中的哈密顿力学量子力学是描述微观领域物理现象的理论。
哈密顿力学在量子力学中的应用则是为了描述量子系统的动力学过程。
它通过引入量子力学中的波函数和算符，将物体的运动状态用哈密顿算符来描述。
通过求解哈密顿方程，可以得到量子系统的能级。
这种方法为研究原子、分子、固体等微观领域的物理现象提供了重要的手段。
在量子力学中，哈密顿力学的应用尤为广泛。
例如，通过量子哈密顿力学可以解释原子和分子的能量结构、电子的跃迁行为等。
不仅如此，哈密顿力学还可以用来研究量子力学中的量子涨落、量子相干等现象。
这些研究对于实验物理学和量子信息领域有着重要的意义。
三、统计力学中的哈密顿力学统计力学是描述大系统的物理性质的理论。
它研究宏观物体的统计行为，从而揭示微观粒子的动力学模型。
哈密顿力学在统计力学中的应用主要是通过玻尔兹曼方程或Fokker-Planck方程来描述粒子数密度的演化。
通过求解这些方程，可以得到宏观系统的分布函数和演化规律。
统计力学中的哈密顿力学应用广泛。
例如，在热力学中，哈密顿力学可以用来推导理想气体的状态方程和热力学定律。
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿力学
哈密顿力学哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。
它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。
但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。
关于这点请参看其数学表述。
哈密顿力学-简介哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。
不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et,t∈R是位置空间。
拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t 的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。
函数H称为哈密顿量或者能量函数。
该辛流形则称为相空间。
哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。
该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。
该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。
该时间的演变由辛同胚给出。
根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。
由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。
泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
当余度量是退化的时，它不是可逆的。
在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。
但是，哈密顿量依然存在。
这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。
这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。
每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。
这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。
亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。
第五章 分析力学ppt课件
或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标
数学物理中的哈密顿力学和拉格朗日力学
在数学物理领域，哈密顿力学和拉格朗日力学是两种重要的力学理论。
它们是描述物体的运动和相互作用的数学工具，为研究和解决复杂的物理问题提供了有力的手段。
哈密顿力学是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿建立的。
它基于哈密顿原理，即在系统的所有可能路径中，真实的运动路径是使作用量（即拉氏量的积分）取极值的路径。
哈密顿力学使用广义坐标和广义动量来描述系统的状态，而不是使用位移和速度。
广义坐标是描述系统位置的变量，而广义动量与速度成正比。
通过将拉格朗日方程中的广义速度通过变换表示为广义坐标和广义动量的函数，我们可以得到哈密顿方程，从而描述系统的动力学。
与哈密顿力学相比，拉格朗日力学更为直观。
它是由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日发展而来的。
拉格朗日力学使用拉格朗日方程来描述系统的运动。
拉格朗日方程基于拉格朗日原理，即自动机构的作用量是运动路径的积分。
通过定义拉氏量，拉格朗日方程将系统的动力学问题转化为计算变分问题。
利用拉格朗日方程，我们可以推导出系统的运动方程，并进一步研究其动力学性质。
哈密顿力学和拉格朗日力学之间存在很多相似之处。
它们都是描述系统的运动的力学理论，都基于变分原理，且都能够给出系统的运动方程。
然而，它们也有一些不同之处。
在数学形式上，拉格朗日方程是基于广义坐标和广义速度，而哈密顿方程是基于广义坐标和广义动量。
此外，哈密顿力学更适用于描述具有守恒量和周期运动的系统，而拉格朗日力学更适用于描述复杂的非保守系统。
哈密顿力学和拉格朗日力学在实际应用中有广泛的应用。
它们可以应用于天体力学、流体力学、量子力学等领域。
例如，在量子力学中，我们可以通过哈密顿力学来描述量子系统的演化，而在相对论物理中，我们可以使用拉格朗日力学来描述粒子的运动。
通过这些力学理论，我们可以解析和数值求解各种复杂的物理问题，提供了研究和理解自然界运动规律的重要工具。
总之，哈密顿力学和拉格朗日力学是数学物理中重要的力学理论。
哈密顿力学
f2 Pi
qi ci
正则变换实例
• 给定P，Q表达式，求证为正则变换的问题，
通过化 s
s
pidqi PidQi (K H )dt
i 1
i 1
为全微分即可（若没给 K 则取 K=H）。
• 例：证明 Q = ln(sin(p)/q)，P = q cot(p) 为正 则变换。
pdq PdQ pdq q cot p d ln(sin( p) / q)
d (L(q, v,t)) L
dt vi
qi
广义动量作为中间变量
• 这2s个方程中，计算 qi 的时间微商太简单，而计 算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。 从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi ， 因而把它取为中间变量是合适的。
• 但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度， 而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义 动量来表达。
i 1
B
[
A
pi dqi
pid (
qi )
H qi
qi dt
H pi
pi dt ]
s
[
i 1
B
A ( piqi
pi
qi
H qi
qi
H pi
pi
)dt
pi
qi
B]
A
s
i 1
B
[(
A
pi
H qi
)
qi
(qi
H pi
)
pi
]dt
0
第15次课
哈密顿正则方程解题步骤
• 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有
f2 Pi
,
K
H f2 t
理论物理中的哈密顿力学研究
理论物理中的哈密顿力学研究【引言】哈密顿力学是理论物理中的重要研究领域之一。
它是经典力学的基础，也是量子力学的基石之一。
本文将围绕理论物理中的哈密顿力学展开详细的研究和讨论。
【第一章：哈密顿力学的基本原理】哈密顿力学起源于19世纪初，由物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）提出。
它是一种描述物体在力的作用下运动的理论。
其基本原理可以归纳为哈密顿原理。
【第二章：哈密顿力学与拉格朗日力学的关系】哈密顿力学与拉格朗日力学是相互关联的两个力学体系。
拉格朗日力学是由约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）所创立的，它建立在能量最小化的原理上。
而哈密顿力学则是在拉格朗日力学的基础上发展起来的一套数学形式，通过广义动量和哈密顿函数的引入，使系统的描述更加简洁和方便。
【第三章：哈密顿力学的数学表达】在哈密顿力学中，关键的数学工具是哈密顿方程和正则变换。
哈密顿方程给出了运动方程的解析解，而正则变换可以将问题转化为不同的坐标系下的运动方程，从而得到更简洁的描述。
【第四章：哈密顿力学在经典力学中的应用】哈密顿力学在经典力学中有广泛的应用。
例如，在刚体的运动学和动力学研究中，可以利用哈密顿力学的方法推导出系统的运动方程，并求解得到刚体的轨迹和角速度等重要信息。
【第五章：哈密顿力学与量子力学的关系】哈密顿力学对量子力学的发展也有重要影响。
在量子力学中，哈密顿力学是一种基本的描述体系。
通过引入波函数的概念，将经典力学中的哈密顿力学转化为量子力学中的哈密顿力学，从而给出了描述粒子运动的薛定谔方程。
【第六章：哈密顿力学在量子力学中的应用】哈密顿力学在量子力学中有广泛的应用。
例如，在固体物理学中，可以使用哈密顿力学的方法来描述电子在晶格中的行为，从而得到电子能带结构和导电性等重要性质。
【结论】哈密顿力学是理论物理中的重要研究领域，它在经典力学和量子力学中扮演着重要角色。
哈密顿动力学
⇒
[
p
x
,
L
x
]=−
∂ Lx ∂x
=0,
同理可得
[
解：取柱坐标（ R,φ,z ），以圆柱中心为势能零点，可求得
势能 动能
V
=
k 2
r
2=
k 2
R
2
z
2
T
=
m 2
R
2
˙
2
z˙
2
=T
2
⇒
L
=
m 2
R2
˙ 2
z˙
2
−
k 2
R2
z
2
⇒
p=
∂L ∂ ˙
=mR2
˙
,
p
z
=
∂ ∂
L z˙
=
m
z˙
⇒
˙ =
p mR2
,
˙z=
pz m
(*)
哈密顿函数
H
=T
V
=
1 2m
L=T
−V
⇒
p
=
∂L ∂ q˙
反解出 q˙ =q˙ q , p , t
(3) 依定义式 H =∑ p q˙ −L 或 H =T 2−T 0V 并利用
q˙ =q˙ q , p , t 消去 H 中的 q˙ , 使 H =H q , p ,t . (4) 代入正则方程 , 得出系统的运动方程 .
根据拉格朗日方程，我们最简单的做法是取
X
=
∂L ∂ q˙
则拉格朗日方程给出
X˙
=
∂L ∂q
, 而 q˙ 可以从
反解出来
即可得到 q˙ = f q , X , t , 再代入 得到 X˙ =g q , X ,t
力学 牛顿力学 哈密尔顿 力学 拉格朗日力学 量子力学-概述说明以及解释
力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题进行简要介绍，为读者提供背景信息和基本了解。
以下是一个可能的概述部分的内容:引言:力学是自然科学中研究物体运动规律的一个重要分支。
它涉及到如何描述、分析和预测物体在受力作用下的运动状态。
牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学是力学领域的几个重要理论体系，它们对于我们理解和解释物质世界中的运动现象具有重要意义。
牛顿力学是经典力学的基础，由伊萨克·牛顿在17世纪提出。
它通过牛顿三定律和牛顿运动定律，描述了宏观物体受力运动的规律，并对大多数日常物理现象提供了简单而直观的解释。
哈密尔顿力学是经典力学发展的重要阶段，由威廉·哈密尔顿在19世纪提出。
它通过哈密尔顿原理和哈密尔顿方程，以广义坐标和广义动量为描述变量，建立了描述物体运动的一种更为普遍和优雅的数学形式。
拉格朗日力学是另一种重要的经典力学形式，由约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出。
它通过拉格朗日方程和虚功原理，利用拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，适用于多体系统和复杂的约束情况。
量子力学是20世纪物理学的重大突破，研究微观领域中的粒子行为。
它提出了波粒二象性和薛定谔方程，对微观粒子的运动和性质进行了深入研究。
量子力学的基本概念和数学形式与经典力学截然不同，为我们理解微观世界的奇特现象提供了新的视角。
本文旨在探讨牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学这四个力学理论的基本原理和应用。
通过对这些理论的比较和分析，我们可以更全面地了解力学在不同尺度和领域中的应用，以及它们对我们对物质世界的理解和探索的贡献。
在结论部分，我们将对力学的发展和未来的展望进行综合总结。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，文章将按照牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学的顺序进行组织。
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t2
t1
L L dt q q q 1 q
s
s
t 0
q d q dt
t2
t1
L d L d L q q dt q 1 q dt q
一. 变分问题的欧勒方程
1、最速落径问题 铅直平面内在所有联结二个定点 A 和 B 的曲线中，找出一 条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自 A 点沿 它无摩擦地下滑时，以最短时间到达 B 点。 解：这是泛函极值问题。 速度 v 与坐标 y ( x) 的关系 : v 2 gy , (dx) 2 (dy ) 2 1 y '2 ds 而 v dx, dt dt dt 质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为 T dt
xA xB
o
A x
1 2g
xB
xA
1 y '2 dx T y( x), y ( x) y
B y
显然这是一个泛函(即函数的函数)。
现在的任务是寻找一个函数,使泛函 T [ y ( x)] 取极值，即从众多 的函数中找出一条路径使时间最短. 设泛函T [ y ( x)] 的普遍形式为: T [ y ( x)]
1 1 1
x2
x2
x2
f
f
x2
x1
f d f d f y y y dx dx y ' dx y ' y
x
2 x2 d f f f y ydx 0 x 1 y ' dx y ' y x1
s L L p q H ( q, p, t ) L q 1 q 1 s
(q, p, t ), t p q (q, p, t ) L q, q
1
s
注意只有在把广义速度换成广义动量后, H 才能被称为哈密 顿函数，就物理意义来讲它是能量的含义，特别是作为系统 力学信息的集中载体而称之为哈密顿量。
x2 x1
f ( y, y',x )dx 可以证明泛函 T [ y ( x )] 取极值的条件是其
变分为零,即 T 0 （变分算符和微分算符的运算相似）
T f ( y, y',x)dx f ( y, y',x )dx y y ' dx x x x y ' y
如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称 性，自然成为人们的焦点。
另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之 q, q 处，就是没有充分表达出 在因果关系上的独立性。作为初 q q (0), q (0) 始条件， 总是可以独立给定的，可是在方程中 是 作为q的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以 取代“初始时刻”，这种方程中的主从关系显然是对现实的一 种扭曲表达。
2. 广义动量
定义广义动量
L p q
=1,2...s
由q 和 p 组成的空间称作相空间, 因而相空间是2s维空间, q 和 p称作共轭变量
p L , t ) p (q, q q
=1,2...s
q (q, p, t ) q
=1,2...s
q(t)
t1,qA
引入一个轨道相关的函数(物理上称为作用量,数学上称为泛函)： S
t2
t1 ( q ( t ))
L(t )dt
最小作用原理 : 对给定初末态,系统的真实演化轨道使作用量取 极值(极大或极小或常点，通常为极小),即其变分为零： S=0
三. 哈密顿原理
由最小作用原理导出运动方程需通过数学上称为变分的方法,通常假 定变分路径由每一时刻坐标变量的一个独立的小变化( q(t))构成,时 间的变分为零( t=0),即等时变分.等时变分下的最小作用原理一般称 为哈密顿原理.
Байду номын сангаас q dt
L q q
t2
t1
t2
t1
L d L dt q 1 q
s
q dt
q
t2 t1
t1
q
t2
0
L d L dt q 1 q
利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普 遍物理意义。
3. 哈密顿函数
在拉格朗日力学中曾定义:
) L H (q, q
L const q 1 q
s
但那里 H 是作为 L 在不显含 t 时的能量积分（守恒量）引进 的。现在进一步地把 H 定义为(选择广义坐标和广义动量作为 独立变量)系统的特性函数----哈密顿函数
**4. 勒让德变换
勒让德变换 旧系统
F F (u1, u2 ,...un )
F vi ui
新系统
G G(v1, v2 ,...vn )
G ui vi F
1
s
假定由 F 对 ui 的二阶偏微商组成的行列式不等于零, 这时才可以解出 ui 作为 vi 的函数
二. “最小”作用原理
根据经典力学的基本假设,系统某时刻(t1 )从 的真实轨道 q(t) 是唯一的.经典力学的目标就 是从所有连接q A到q B满足给定约束条件的可能轨 道中找出一条满足力学规律的"真实"轨道来.
真实轨道
t2,qB
(q A )出发,到另一时刻(t2 )到达(q B ),中间所经历
哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势.
§5-2 广义动量和相空间
1. 背景 通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难 度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将 导致求解难度大不相同。 如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是 系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它 就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能 发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特 征进行把握的理论上的要求所在。
例：求连接两点之间最短长度的曲线 解：S S[ y ( x)] ds
xB
xA
1 y2 dx; f 1 y '2
要使泛函S取极值,函数f 必须满足欧勒方程: d f f 0 dx y y d f y =0 y=0 y =c1x+c2 2 3/ 2 dx y (1 y ' ) 该曲线必须通过两个端点的坐标:(xA ,y A ),(xB ,y B ) yB y A xB y B x A y B y x xB x A xB x A 显然证明了连接两点长度最短的曲线为直线
对完整保守力系，假定拉格朗日量可以表示为 L(q,q,t) ，并定义 , t )dt 哈密顿作用函数：S L(q, q
t1 t2
哈密顿原理 : 在 t1 和 t 2 时刻, q(t1 )和q(t2 )相同（即端点固定） , 在 约束许可的一切可能路径 q (t ) 中, 使作用函数取极值的路径为物 , t )dt 0 理上可以实现的真实运动路径： S L(q, q
y A yB 0, 且 y 是任意的,(这属于不动边界变分条件) d f f 0 dx y ' y 欧勒方程
例：求最速落径方程 1 y '2 d f f 解：已知 f ， 根据欧勒方程 0. 2 gy dx y y f 1 1 y '2 3/ 2 f 1 y ; (1 y '2 ) 1/ 2 y y 2 2g y 2 gy 1 1 y '2 3/ 2 d 1 2 1/ 2 (1 y ' ) y y 0 dx 2 gy 2 2 g 1 1 1 2 (1 y '2 ) 3/ 2 y 0 y (1 y ' ) C1 2 3 2 gy 2 2 g (1 y ' ) y 引入参数 ，使 y ' ctg y C1 C1 (1 cos 2 ) 2 1 ctg 2 dy sin 2 d 2sin cos d 而 dx C1 C1 2C1 sin 2 d y' ctg ctg C 积分得: x dx C1 (1 cos 2 )d 1 (2 sin 2 ) C2 2 C C 最速落径的参数方程为 : x 1 (2 sin 2 ) C2 ; y 1 (1 cos 2 ) 2 2
s
q dt 0
q 是任意的
d L dt q
L 0 q
( 1, 2...s)
三. 哈密顿原理的意义
哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系. 哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自 然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由 原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。
第 5章
哈密顿力学
§5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程
§5-4 正则变换
完整,理想,保守系 拉格朗日函数 广义坐标(s个) 系统特性函数 独立变量(运动学)
拉 格 朗 日 表 述
运动方程是广义坐标的二 阶微分方程组 广义坐标 广义速度 独立变量(动力学)