函数极限的十种求法

函数极限的十种求法
信科2班江星雨250
函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使
得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。

时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1
求lim( x 2 − 3x + 5).
x→ 2
解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必达法则
洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：
设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大
则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
对分子分母同时求导（洛必达法则）
(tgx)' = 1 / (cosx)^2
(x)' = 1
原式= lim 1/(cosx)^2
当x --> 0 时,cosx ---> 1
原式= 1
3.利用两个重要极限：
应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：
①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；
②分子上取正弦的角必须与分母一样。

应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
①带有“1”；
②中间是“+ ”号；
③“+ ”号后面跟无穷小量；
④指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。

例1：
求lim(arcsinx/x),x趋于0
解A.令x=sint,则当t 趋于0时,x趋于0,且arcsinx=t
所以 B.lim(arcsinx/x),x趋于0.=lim(t/sint),t趋于0=1
4.利用等价无穷小代换定理
利用此定理求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用。

若以和或差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数。

要用好等价无穷小代换定理，必须熟记一些常用的等价无穷小。

例1
lim<x→0->√(1-cosx)/tanx
=lim<x→0->-√2sin(x/2)/tanx
=lim<x→0->-√2/2x/x
=-√2/2
lim<x→0+>√(1-cosx)/tanx
=lim<x→0->√2sin(x/2)/tanx
=lim<x→0->√2/2x/x
=√2/2
因为lim<x→0->√(1-cosx)/tanx≠lim<x→0+>=√(1-cosx)/tanx
所以极限不存在
5.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当
m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

例1
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
6.利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

例1
设f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：
当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1
左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2
7.利用等价无穷小量代换求极限
例 8 求极限30tan sin lim sin x x x
x
→-． 解 由于()sin tan sin 1cos cos x
x x x x
-=
-，而 ()sin ~0x x x →，()2
1cos ~02
x x x -→，()33sin ~0x x x →
故有
23300tan sin 112lim lim sin cos 2
x x x x x x x x x →→⋅
-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()tan ~0x x x →，()sin ~0x x x →，而推出
3300tan sin lim
lim 0sin sin x x x x x x
x x
→→--==， 则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2
1cos ~02
x x x -→，
()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→，
()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α
α+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限
洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞
∞
型不定式极限．用此种方法求极限要求在
点0x 的空心领域()0
0U
x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．
例1 求极限21cos lim
tan x x
x
π→+．
解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x π
π
→→+==，且有
()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，
由洛比达法则可得
12
=． 8.利用定义求极限
1．()()()
000'lim x x f x f x f x x x →-=-，
2．()()()
0000
'lim
h f x h f x f x h
→+-=．
其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式． 例1
求极限0
x →()0,0p q >>．
分析 此题是0x →时0
型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母
中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令()f x =()g x = 则
p q
=
． 9. 利用归结原则求极限
归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0
lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于
()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞
都存在且相等．
例1
求极限211lim 1n
n n n →∞
⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
．
分析 利用复合函数求极限，令()2
1
211x x x u x x ++⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭，()1
x v x x
+=
求解． 解 令()21
211x x x u x x ++⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭，()1
x v x x
+=
则有 ()lim n u x e →+∞
=；()lim 1n v x →+∞
=，
由幂指函数求极限公式得
()()211lim 1lim x
v x x x u x e x x →+∞
→+∞
⎛⎫
++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得
221111lim 1lim 1n x
n x e n n x x →∞
→+∞⎛⎫⎛⎫
++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +
→，
0x x -
→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．
注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞
不存在，或找到两个都以0
x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞
与()"lim n n f x →∞
都存在而不相等，则()0
lim x x f x →不存在
10.利用泰勒公式求极限
在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
()()()()()()()2"000'02!!
n n
n f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．
例1 求极限2
2
4
0cos lim
x x x e
x -
→-．
解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：
()24
5cos 1224
x x x x ο=-
++， ()224
52
128
x x x e
x ο-=-++，
()24
52
cos 12
x x x e
x ο--=-+． 因而求得
()2
4
52
4
400cos 112lim
lim 12
x x x x x x e x x ο-
→→-+-==-． 利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限
常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()
00
'lim
x x f x f x f x x x →-=-，
2．()()()
0000
'lim
h f x h f x f x h
→+-=．
其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．
例１
证明()()
211
lim 212x x x x →-=--．
分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211
122x x x x x
-+=
---，于是有 ()()
231
11332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----，
取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有
()()
21
212x x x ---- 61x <-，取26
ε
δ=
即可．
证明 对于0ε∀>，取1min ,26εδ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，于是当01x δ<-<时，有
()()
21
26112x x x x ε--<-<--，
由定义知()()
211
lim 212x x x x →-=--成立．
注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。