流体力学习题答案

第二1 章 流体运动学基本概念复习
按时间影响：稳态与非稳态
流动分类 按空间影响：一二三维
基本 概念
描述流体运 拉格朗日法---质点 动的方法 欧拉法---场
二者关系
迹线和流线：迹线方程和流线方程
→
有旋流动与无旋流动：涡量 Ω
流体的不可压缩条件： v=0
3.已知流场的速度
y

y0

(x2 x02 ) 1 At0
vx=1+At, vy=2x。
试确定t = t0时，通过（x0,y0）点
流线方程，A为常数。
10
解：以vx、vy,代入流线微分方程：
dx dy 得： dx dy
vx vy
1 At 2x
分离变量得：2xdx dy
1 At
解得： y

x2 1 At
c1
这是任一瞬时流线的全体，即为流线族， 当t=t0时的流线族为：
11
x2
12
y
1
At0
c1
将x=x0,y=y0,代入上式得：
c1

y0

x02 1 At0
代入上式得
y

y0

(x2 x02 ) 1 At0
则上式为该流场流线方程。
4.已知流场的速度为：
vx=2kx， vy=2ky,，vz= - 4kz 式中k为常数。
试求通过(1,0,1)点的流线方程。
得：c1 0 则 x u0t, 代入上式得
27
2y8
v0
ku0
s in(k u0
)t
消去t后得，
y

v0
ku0
s in(k u0
)
x u0
2）求流线
由已知条件代入流线微分方程得：
dx
dy
u0 v0 cos(kx t)
分离变量得：
v0 cos(kx t)dx dy
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解：由流线方程可知
dx dy 2xydx (x2 y2 )dy 0 uv
上式左侧恰好为某个函数的全微分。即有
2xy f , x2 y 2 f
x
y
积分得f (x, y) x2 y 1 y3 c 3
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9.给定拉格朗日流场
x ae(2t / k ) , y bet / k , z cet / k
代入速度分量式得
vx


2x k
, vy

y k
, vz

z k
所以，该流动为稳态流动。
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2）不可压缩流场的判断准则是 v 0

v
vx

v y

vz
x y z
211 kkk
0
所以是不可压缩流场。
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3）各涡量分量为
x

vz y
vy z
0
y

vx z
vz x
0
z

vy x
vx y
0
为无旋流动。
38
10.已知迹线方程：
x 2at5 2, y 2 bt5 2
试求t=1时刻过x=2.01, y=2.01点的流线。
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解：40由迹线方程可得拉格朗日变数
x 2at5 2, y 2 bt5 2
其中k为常数。试判断： 1）是否稳态流动 2）是否可压缩流场 3）是否有旋流动
稳态 不可压缩 无旋
jx k
Ω
(-)
ziy
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解：1）由拉格朗日流场得速度分量为
vx

dx dt


2a k
e(2t /k)
vy

dy dt

b k
et /k
vz

dz dt

c k
et /k
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由已知条件得
a xe2t / k , b yet / k , c zet / k
a x t 5 2 , b ( y 2)t 5 2 2
再由迹线方程得
vx

dx dt

5at 3
2

5 2
xt 1
vy

dy dt

5 bt3 2 2

5 ( y 2)t 1 2
由流线方程 有
解得：
dx dy
vx
vy
dx
dy
5 xt 1 5 ( y 2)t 1
vx vz
2kx 4kz
则：ln
x


1 2
ln
z

ln
c2
即：x c2
z
将x=1,z=1代入上式得：c2=1
15
16
所以： x 1
z
y 0
则流线方程为x
1 z
空间流线
7. 给定速度场：



v u0 i v0 cos(kxt) j
其中，u0，v0，k，α均为常数。试求在t=0时பைடு நூலகம்
刻通过点（0，0）的流线和迹线方程。若k，
α趋近于零，试比较这两条曲线。
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解：1）求迹线
vx u0, vy v0 cos(kx t)
则有
dx dt

u0 ,
dy dt

v0
c os (k x t )
x u0t c1 将 t 0, x 0, y 0代入上式
u0
解得：y v0 sin(kx t) c
k u0
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这是任一时刻流线的全体。
30
当t=0时流线族为：
y v0 sin(kx) c k u0
将x 0, y 0代入上式得：c 0 则流线方程为
y v0 sin(kx) k u0
3）流线与迹线的比较
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当k, 0时，对于迹线有
y

v0
ku0
sin(ku0
) x
u0

v0 u0
x
当k, 0时，对于流线有
y v0 sin(kx) v0 (kx) v0 x
k u0
k u0
u0
8.二维空间稳定速度流场为: u=x2-y2,v= -2xy
试导出其流线形态。 f (x, y) x2 y 1 y3 3
2
2
x c( y 2)
c 代入已知条件解得： = 201
所求流线方程为：
x 201( y 2)
41
y 0
流线方程为x
1 z
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解：由于流线微分方程为：
dx dy dz vx vy vz
当 dx dy vx vy
即：dx dy 2kx 2ky
则：ln x ln c1 ln y
即：y c1x 14
将x=1,y=0代入上式得：c1=0,所以y=0
当 dx dz 时： 即：dx dz