二重积分的概念

∫∫ f ( x, y)dσ = f (ξ ,η ) ⋅σ
D
[例题解析 例题解析] 例题解析
例1
D1
设
I1 = ∫∫ ( x 2 + y 2 )3 dσ , 其中D1 = {( x, y ) | −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2} I 2 = ∫∫ ( x 2 + y 2 )3 dσ , 其中D2 = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
i =1 i =1 n n
④取极限： V = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i
d →0 i =1
n
其中d max｛ 也示小区域的面积。 其中d = max｛d1,d2,…,dn｝,用△σi也示小区域的面积。 ,d
2．引例——平面薄片的质量 引例 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 有一个平面薄片 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为σ , 则
∫∫
D
⑹
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ f (x, y) dσ
D D
的面积， ⑺ 在D上若m≤f(x,y)≤M ，σ为D的面积，则 上若m≤f(x,y)≤M
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M σ
D
二重积分中值定理： ⑻ 二重积分中值定理：
设f(x,y)∈C(D)，D为有界闭区域，σ为D的面积， f(x,y)∈C(D)， 为有界闭区域， C(D) 的面积， ∈D， 则至少 ∃(ξ,η)∈D， 使
y
≈ ∑µ (ξk , ηk )∆σ k
k =1 n
4)“取极限” 取极限” 取极限
令 λ = max{λ(∆σk )}
1≤k ≤n
(ξk ,ηk ) ∆σk
x
M = lim ∑µ (ξk , ηk )∆σ k
λ→0 k =1
n
两个问题的共性： 两个问题的共性： 共性
(1) 解决问题的步骤相同 “分割 近似和 取极限” 分割, 取极限” 分割 近似和,取极限 (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积: 曲顶柱体体积
区域的直径： 区域的直径：闭区域上任意两点间距离的
最大值， 最大值，称为闭区域的直径。
(z=f(x,y)=常数 柱体的体积： 常数) 平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积： z=常数 常数） 区域D的面积） 体积 = 高（z=常数）× 底面积（区域D的面积） 解决计算曲边梯形面积的思想分析方法： （请回忆在§6—1解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：……） 请回忆在§ 解决计算曲边梯形面积的思想分析方法 ）
D2
利用二重积分的几何意义说明I1和I2之间的关系 利用二重积分的几何意义说明I
y
2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分的几何意义知， 表示底为D 由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1，顶为曲 z=（ 的曲顶柱体M 的体积； 表示底为D 面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M1的体积；I2表示底为D2， 顶为曲面z= z=（ 的曲顶柱体M 的体积； 顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M2的体积；由于位 上方的曲面z= z=（ 关于yox面和zox yox面和zox面均对 于D1上方的曲面z=（x2+y2）3关于yox面和zox面均对 yoz面和zox面将 分成四个等积的部分， 面和zox面将M 称，故yoz面和zox面将M1分成四个等积的部分，其中 位于第一卦限的部分即为M 位于第一卦限的部分即为M2。由此可知
V =
∫∫
D
f ( x, y )dσ
二重积分的几何意义： ③ 二重积分的几何意义：
△当f(x,y)≥0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积； f(x,y)≥0时 二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积； f(x,y)≤0时 二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值； △当f(x,y)≤0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值； f(x,y)在 上既有在若干分区域上取正值， △当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值 时，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的 二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、 面上方的柱体体积为正 柱体体积的代数和。 柱体体积的代数和。
二．二重积分的性质
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
∫∫ a⋅ f (x, y)dσ = a ⋅ ∫∫ f (x, y)dσ
D D
∫∫[ f (x, y) ± g(x, y)]dσ = ∫∫ f (x, y)dσ ± ∫∫ g(x, y)dσ
Biblioteka BaiduD D D
∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ
I1 = 4 I 2
例2 利用二重积分的几何意义确定二重积分
∫∫
D
的值，其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9 （3 − x + y )dσ 的值，
2 2
解：
曲顶柱体的底部为圆盘 其顶 是下半圆锥面
x + y ≤9
2 2
2 2
z = 3− x + y
故曲顶柱体为一圆锥体， 故曲顶柱体为一圆锥体，它的 底面半径及高均为3， 底面半径及高均为 ，所以
第一节
二重积分的概念与性质
一. 二重积分的概念
引例——曲顶柱体的体积 1．引例 曲顶柱体的体积 曲顶柱体： 曲顶柱体： xoy面上的一有界闭区域 面上的一有界闭区域D △ 柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D； 是以D △侧面是以D的边界曲线为准线而母线平
行于z轴的柱面； 行于z轴的柱面； 是曲面z=f(x,y)(f(x,y) ≥0),f在 △顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y) ≥0),f在D 上连续。 上连续。
∫∫ f ( x, y)dσ = 2∫∫ f ( x, y)dσ
D D1
x≥0的部分 的部分） （D1为D在x≥0的部分）
∫∫
D
f ( x, y ) d σ = 0
∫∫ ( x
D
2
+ y ) dσ
2 2 2
= 2∫∫ ( x + y )dσ
D1
[注记 ： 结论的推广 注记]： 注记
当积分区域D关于x轴对称， （1） 当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y 的奇函数， 的奇函数，即f（x，-y）= -f（x，y）时有
（ ∫∫ 3 −
D
x + y )dσ = 9π
2 2
利用二重积分的几何意义说明： 例3 利用二重积分的几何意义说明： 当积分区域D关于y轴对称， （1） 当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x 的奇函数， 的奇函数，即f（-x，y）= -f（x，y）时有
∫∫ f ( x, y)dσ = 0
D
当积分区域D关于y轴对称， （2） 当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x 的偶函数， f（ 的偶函数，即f（-x，y）= f（x，y）时有
函数f(x,y)在闭区域D上连续， f(x,y)在 f(x,y)在闭区域 ③ 函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D 上的二重积分必定存在。 上的二重积分必定存在。 n→∞(λ→0)时 积分和式极限存在，与对D ⑤ n→∞(λ→0)时，积分和式极限存在，与对D 区域的分法无关， 区域的分法无关，与(ξi,ηi)∈△σi的取法无 仅与D f(x,y)有关 有关。 关，仅与D和f(x,y)有关。 的直径很小” 的面积很小” ⑥ “△σi的直径很小” 与 “△σi的面积很小” 对 近似” 有根本的区别， 于 “近似” 有根本的区别，因此极限过程用 →0，而不能仅用n→∞来描述。 n→∞来描述 λ→0，而不能仅用n→∞来描述。
②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y) 近似：近似地将小曲顶视为平顶 满足条件： 连续，小区域△ 的直径d 很小） 以点 以点( 连续，小区域△σi的直径di很小），以点(ξi,ηi)∈ 的竖坐标f( f(ξ 为高， △σi的竖坐标f(ξi,ηi)为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值 ≈f(ξ △Vi≈f(ξi,ηi)△σi (i=1,2, … ,n) ③求和： V = ∑∆Vi ≈ ∑ f (ξi ,ηi )∆σi 求和：
M = µ ⋅σ
若 非常数 , 仍可用 “分割 ,近似和 求 极限” 分割, 近似和 极限” 分割 近似和, 解决. 解决
y
D
1)“分割” 分割” 分割 σ σ σ 任意曲线网分 曲线网分D 用任意曲线网分 为 n 个小区域 ∆ 1, ∆ 2, L, ∆ n , 相应把薄片也分为小区域 .
x
2)“近似” 近似” 近似 任取一点 在 个∆σk 中任取一点 (ξk ,ηk ),则第 k 小块的质量 每 3)“近似和” 近似和” 近似和
∫∫ f ( x, y)dσ = 0
D
当积分区域D关于x轴对称， （2） 当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y 的偶函数， f（ 的偶函数，即f（x，-y）= f（x，y）时有
∫∫ f ( x, y)dσ = 2∫∫ f ( x, y)dσ
D D1
y≥0的部分 的部分） （D1为D在y≥0的部分）
例4
D
比较
2 3
∫∫ ( x + y) dσ = 0和∫∫ ( x + y) dσ = 0的大小，
D
2 2
其中D = {( x, y ) | ( x − 2) + ( y − 1) ≤ 2}
分析： 分析：主要考虑
( x + y ) 2 与( x + y )3 在D = {( x, y ) | ( x − 2) + ( y − 1) ≤ 2}的大小
∑ f (ξ ,η )∆σ
i =1 i i
i
④取极限：当n→∞且λ=max｛d1,d2,…,dn｝→0时， 取极限： → 且 =max｛ ,d n 极限 lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i
λ →0
i =1
存在，则称此极限值为z=f(x,y)在 上的 存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的 z=f(x,y)
2 2
【附注】 附注】
V = lim ∑ f (ξk , ηk )∆ k σ
λ→0 k =1
n
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量
M = lim ∑µ (ξk , ηk )∆σ k
λ→0 k =1
2.定义（二重积分）： 2.定义（二重积分）： 定义
设z=f(x,y)在区域 上有界，则 z=f(x,y)在区域D上有界 在区域 上有界， 分割：用平面曲线网将D分成 分成n个小区域 ①分割：用平面曲线网将 分成 个小区域 △ σ 1 , △ σ 2, … , △ σ n 各个小区域的面积是 △σ1 ,△σ2 ,…,△σn , …,d 各个小区域的直径是 d1,d2 ,…,dn 近似： ②近似：在各个小区域上任取一点 (ξi,ηi)∈△σi ， 作乘积 f(ξ f(ξi,ηi)△σi (i=1,2, … ,n) n 求和： ③求和：
D D1 D2
（D=D1+D2）
∫∫ dσ = σ
D
的面积） （σ为D的面积） 的面积
若恒有f(x,y)≤g(x,y) f(x,y)≤g(x,y)， ⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ
D D
恒成立， 特别地， 上若f(x,y)≤0 特别地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立， 上若 则 f ( x, y )dσ ≤ 0 ( ≥0 )
i=1
[注记 ： 注记]： 注记
在直角坐标系中， ≈(∆ )(∆ ① 在直角坐标系中，∆σi≈(∆xi)(∆yi) ⇒ 面积元素 =dxdy,故二重积分又有形式 dσ=dxdy,故二重积分又有形式 ∫∫ f ( x , y ) dxdy
D
由于二重积分的定义， ② 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是
二重积分，记为 ∫∫
D
f ( x, y )dσ
n
即
∫∫ f ( x, y)dσ = lim ∑ f (ξ ,η )∆σ λ
D →0 i =1 i i
i
f(x,y) —— 被积函数 dσ —— 面积元素 D —— 积分区域
f(x,y)dσ f(x,y)dσ —— 被积表达式 x,y —— 积分变量 n ∑ f (ξi ,ηi )∆σi —— 积分和式
z z
z=f(x,y)
z=f(x,y)
o D
x
y
o
x
y
( ξi , η i )
·
△ σi
D
曲顶柱体的体积V: 曲顶柱体的体积V:
①分割：D = △σ1∪△σ2∪ … ∪△σn 分割： V = △V1 ∪△V2 ∪ … ∪△Vn
窄条曲顶柱体的底； 的直径。 (△σi为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△σi的直径。)