因式分解-教学课件
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湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
人教版九年级数学上册《因式分解法》教学课件
于是，得 = 0 或 2 + 3 = 0，
1 = 0，2 =
3
− .
2
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
2 因式分解，得 − 3 (2 − 3) = 0.
将下列各式因式分解：
(1) ² − 3 = ( − 3)
(2) ² − 36 = ² − 6² = ( − 6)( + 6)
(3) ² − 4 + 4 = ² − 2 · 2 + 2²
将下列各式因式分解：
(1) ² − 3 = ( − 3)
(2) ² − 36 = ² − 6² = ( − 6)( + 6)
∴ 1 = 2 = 1.
不同的因式分解的方法.
三、拓展探索
思考
怎样解方程 ² − 4 + 3 = 0?
解法1：移项，得
2
− 4 = −3.
配方，得
2
− 4 + 2² = −3 + 2²，
− 2 ² = 1.
由此可得
− 2 = ±1,
∴ 1 = 3， 2 = 1.
例1
解下列一元二次方程：
1 2² + 3 = 0;
2 2 − 3 = 3( − 3);
3 ² + 4 = 4；
4 ( − 2)( − 1) = 2.
例1
解下列一元二次方程：
1 2² + 3 = 0
例1
解下列一元二次方程：
1 = 0，2 =
3
− .
2
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
例1
解下列一元二次方程：
2 2 − 3 = 3( − 3)
2 因式分解，得 − 3 (2 − 3) = 0.
将下列各式因式分解：
(1) ² − 3 = ( − 3)
(2) ² − 36 = ² − 6² = ( − 6)( + 6)
(3) ² − 4 + 4 = ² − 2 · 2 + 2²
将下列各式因式分解：
(1) ² − 3 = ( − 3)
(2) ² − 36 = ² − 6² = ( − 6)( + 6)
∴ 1 = 2 = 1.
不同的因式分解的方法.
三、拓展探索
思考
怎样解方程 ² − 4 + 3 = 0?
解法1：移项，得
2
− 4 = −3.
配方，得
2
− 4 + 2² = −3 + 2²，
− 2 ² = 1.
由此可得
− 2 = ±1,
∴ 1 = 3， 2 = 1.
例1
解下列一元二次方程：
1 2² + 3 = 0;
2 2 − 3 = 3( − 3);
3 ² + 4 = 4；
4 ( − 2)( − 1) = 2.
例1
解下列一元二次方程：
1 2² + 3 = 0
例1
解下列一元二次方程：
最新人教版初中八年级上册数学【因式分解的综合运用】教学课件
14 16 1 (16 2) 16 1 (24 2) 24 1;
......
(2)根据上述特点,第n个式子可以写成什么?
(2n1 2) 2n1 1.
知识提升
(3)再观察上述等式中第二个等号右侧的式子有什么特点?
32 (4 1)2 (22 1)2;
72 (8 1)2 (23 1)2; 152 (16 1)2 (24 1)2;
(a 1)(a 1)2
=(a-1)2(a+1)2
此多项式各项有公因式吗
这个三项多项式符合完全 平方公式因吗式分解的
结果中,若有 相同因式,应 分解到写何成时幂结的束形呢
式.
例 分解下列因式
(4) ( p 4)( p 1) 3p 解: ( p 4)( p 1) 3p
p2 p 4p 4 3p
解: (a2 b2 )2 4a2b2 (a2 b2 )2 (2ab)2
多项式分解因式 要分解到每个因 式不能再分为止.
(a2 b2 2ab)(a2 b2 2ab)
(a b)2(a b)2.
巩固练习 分解下列因式
(3) (x y)2 4(x y 1)
解： (x y)2 4(x y 1) (x y)2 4(x y) 4 (x y)2 2 2(x y) 22 (x y 2)2
因式分解的综合运用
复习回顾
➢ 学习了哪些多项式分解因式方法？ ➢ 提公因式法，公式法
➢ 学习了哪些多项式分解因式公式，它们有什么区别？
平方差公式： a2 b2 (a b)(a b); 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2. ➢ 平方差公式适合解决两项的多项式因式分
解，并且能够写成两项平方的差的形式；
即左=右.
知识提升 (2n1 2) 2n1 1 (2n1 1)2
......
(2)根据上述特点,第n个式子可以写成什么?
(2n1 2) 2n1 1.
知识提升
(3)再观察上述等式中第二个等号右侧的式子有什么特点?
32 (4 1)2 (22 1)2;
72 (8 1)2 (23 1)2; 152 (16 1)2 (24 1)2;
(a 1)(a 1)2
=(a-1)2(a+1)2
此多项式各项有公因式吗
这个三项多项式符合完全 平方公式因吗式分解的
结果中,若有 相同因式,应 分解到写何成时幂结的束形呢
式.
例 分解下列因式
(4) ( p 4)( p 1) 3p 解: ( p 4)( p 1) 3p
p2 p 4p 4 3p
解: (a2 b2 )2 4a2b2 (a2 b2 )2 (2ab)2
多项式分解因式 要分解到每个因 式不能再分为止.
(a2 b2 2ab)(a2 b2 2ab)
(a b)2(a b)2.
巩固练习 分解下列因式
(3) (x y)2 4(x y 1)
解： (x y)2 4(x y 1) (x y)2 4(x y) 4 (x y)2 2 2(x y) 22 (x y 2)2
因式分解的综合运用
复习回顾
➢ 学习了哪些多项式分解因式方法？ ➢ 提公因式法，公式法
➢ 学习了哪些多项式分解因式公式，它们有什么区别？
平方差公式： a2 b2 (a b)(a b); 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2. ➢ 平方差公式适合解决两项的多项式因式分
解，并且能够写成两项平方的差的形式；
即左=右.
知识提升 (2n1 2) 2n1 1 (2n1 1)2
九年级数学上册教学课件《因式分解法》
所以( +1)x+5=0或(1– ) x+5=0
2. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
【教材P14练习 第2题】
所以x1= -5( -1)= 5-5
x2= 5( +1)= 5 +5
x2=p
(mx+n)2=p
ax2+bx+c=0(a≠0)
x2-(m+n)x+mn=0
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是 .4. 方程 的根是 .
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
解：分解因式，得 (x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7
解：化简，得 x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0
直接开平方法适用于哪种形式的方程？配方法适用于哪种形式的方程？公式法适用于哪种形式的方程？因式分解法适用于哪种形式的方程？
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法
用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程：(x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0.
解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
【教材P14练习 第2题】
解：设小圆形场地的半径为x m,则大 圆形场地的半径为(x+5) m.
2. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
【教材P14练习 第2题】
所以x1= -5( -1)= 5-5
x2= 5( +1)= 5 +5
x2=p
(mx+n)2=p
ax2+bx+c=0(a≠0)
x2-(m+n)x+mn=0
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是 .4. 方程 的根是 .
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
解：分解因式，得 (x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7
解：化简，得 x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0
直接开平方法适用于哪种形式的方程？配方法适用于哪种形式的方程？公式法适用于哪种形式的方程？因式分解法适用于哪种形式的方程？
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法
用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程：(x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0.
解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
【教材P14练习 第2题】
解：设小圆形场地的半径为x m,则大 圆形场地的半径为(x+5) m.
《用因式分解法解一元二次方程》PPT精品教学课件
身边的友人渐渐地脱单，越来越多的走进婚姻的殿堂，而我依然在殿堂外独自行走，关心自己的人，都在为自己着急，挑选各种各样认为好的女孩，而我却总是无动于衷。我不知道是因为自己对爱情的惧怕，还是对婚姻的恐惧，还是已无力与一个陌生人去从相识开始，也以无心去接受这一切，所以独自逃离的远远地，不提不问不想不念。 我不知道，未来，谁与我并肩看人间烟火。只是，在内心深处，有一股浓浓的思念萦绕心尖，剪不断，理还乱，或许，是一年，或许，是两年，或许，一辈子。刚刚结束了班夫的自驾游，去之前一点没做攻略，除了传说中对美景的盛赞，对那里几乎一无所知。 头一次毫无准备地上路，得益于同行的友人一家，他们已是三顾班夫了，轻车熟路，所以我放心地当了甩手掌柜，从装备到路线、酒店、景点、美食，统统不必操心，乐得轻松自在。 这是一片广袤的天地，无一处不风景，无一眼不风情。 最喜欢峡谷里的瀑布，清凉的冰水摧枯拉朽般从高耸的岩壁奔流而下，无止无休，千年万年，冲刷出今日的残岩断壁。伫立在水边，俯仰之间，山水交融，仿佛看到了久远的一幕，子在川上曰：逝者如斯夫。 而友人一家之所以乐此不疲地到此三游，则是为了一座岛——精灵岛，位于嘉士伯国家公园的马琳湖。 精灵岛已经成了他们心中的一份执念。 第一次慕名而至，临近冬季，一场大雪扑灭了他们通往精灵岛的梦幻之旅。 第二次避开了雪季，却不想又被大雾遮望眼，再一次与精灵岛失之交臂。 此行已是第三次了，虽然沿途的景致百看不厌，却比不上心系精灵岛的一眼。 遗憾的是，又一次天公不作美，明明之前连日的晴空万里，偏偏这一日阴雨绵绵云雾缭绕，注定又要错失梦想中的小岛了。 我的心情还好，因为没有过多的期待，入目皆是美景，撑起雨伞欣赏了一圈雨中湖景朦胧岛影，后来在湖边的礼品店里看到了清晰的精灵岛图片，权当完成了心愿。 友人静静地站在湖边，望着面前的雨幕，一言不发。 我向她提议，“不如我们多呆一天，或许明天就放晴了。” “天气预报说今天下午才有雨，本以为早上赶过来还能来得及看一眼的。”她失落地说。 “那明天呢？”我暗自惭愧，自己连天气预报都没看。 “明天也有雨。”她皱眉道。 “那--”我不知该说什么安慰好了。 “走吧，这就是人生，总要有点遗憾的，就让它永远留在我的心里，偶尔想念一下，作为求而不得的最美风景吧！”她甩甩头，最后看了一眼她的梦想，然后潇洒地往回走了。 她的一番话似乎把所有的不悦都带走了，突然觉得这样的遗憾竟比睛天还美。 风景自在人心，有时候不完美也是一种完美。 于是想起另一个故事。 一次聚会，有个朋友刚从张家界旅游回来，大赞那里风景绝美，堪称人间仙境。 在看过她晒出的自拍后，所有人都开始兴致勃勃地憧憬起来，相约什么时侯有假期可以同行。 只有闺蜜沉默不语。 我后知后觉地记起来，她和初恋男友分手的那年暑假，正是她男友从张家界回来之后不久。 她曾经说过，此生都不会去那个地方，因为在她心里，那是世界上最美的地方，是他曾经承诺要带她一起去看的风景，因为少了他，再美的风景都是泡影。 难道这么多年过去了，她还没能放下？ 她看出我的疑惑，淡淡地笑了，“不是因为他，纯粹是不想去。我相信它是最美的，就因为相信，所以不想破坏了它在我心里的那份完美，一旦真正去了，总会有遗憾，现实永远没有想象的完美。” 她把初恋放下了，却放不下他为她描绘的那片风景。还是因为太在意啊，没有期盼，何来遗憾？ 人生需要遗憾，因为遗憾，所以真实；因为遗憾，所以美丽。 就象张家界之于闺蜜，精灵岛之于友人一家，每个人的遗憾都源于心中所念。 心有所系，故有所憾。引导语：傻孩子，你记住，可以哭，可以恨，但是不可以不坚强。心若在，梦就在，你必须非常努力，因为后面还有一群人在等着看你的笑话。即便是躺着中枪，也要姿势漂亮！ 傻孩子，你记住：我们有许多的梦想，不一定都能实现，有些梦想甚至要摒弃。不要把自己太当回事，也不要把自己太不当回事。好好地呵护自己，对自己好点，就要有好的心态，有了好的心态就会心胸宽广，就会豁达，就会有好的心境。 傻孩子，你记住：爱一个人不容易，忘记一个人更难。是啊，爱一个人是很苦的很苦的事，想一个人是很累的很累的事，等一个人是很傻的很傻的事，为什么我们却不能拒绝这样的相思？为什么我们心甘情愿无怨无悔？为什么我们却如此依然痴迷不悟？
〔人教版〕因式分解教学PPT课件20
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
3、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用
___整__式__乘__法______运算来检验。
4、我们已经学过哪些乘法公式？
___（ ___a__ __b __） _(_a ___ __b _)__ ___a _2 __ __b __2 __； __（ ___a _ __b __） _2 __ __a _2 __ __2 _a ___ _b _b __2 ______.
②两个平方项异号(一正一负)；
回忆完全平方公式
a b 2 a22abb2
a b 2 a22abb2
1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
2.分解因式时,通常先考虑_能__否__提__公__因__式__ 然后再考虑_能__否__进__一__步__分__解__因__式__.
变式2：将下列多项式分解因式
x2 4
2x23 88x
反馈矫正2：把下列各式分解因式
（1）2x2 50
（2）ab3 4ab
（ 3） -16x481y4
注意：（1）如果多项式中有公因式可提，应先
提取公因式，而且还要“提”得彻底； （2）分解因式时，每个因式都要分解彻底
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
3、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用
___整__式__乘__法______运算来检验。
4、我们已经学过哪些乘法公式？
___（ ___a__ __b __） _(_a ___ __b _)__ ___a _2 __ __b __2 __； __（ ___a _ __b __） _2 __ __a _2 __ __2 _a ___ _b _b __2 ______.
②两个平方项异号(一正一负)；
回忆完全平方公式
a b 2 a22abb2
a b 2 a22abb2
1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
2.分解因式时,通常先考虑_能__否__提__公__因__式__ 然后再考虑_能__否__进__一__步__分__解__因__式__.
变式2：将下列多项式分解因式
x2 4
2x23 88x
反馈矫正2：把下列各式分解因式
（1）2x2 50
（2）ab3 4ab
（ 3） -16x481y4
注意：（1）如果多项式中有公因式可提，应先
提取公因式，而且还要“提”得彻底； （2）分解因式时，每个因式都要分解彻底
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
八年级数学上《因式分解》教学课件
因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
结束
(4)x2 2x 1 x(x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc 否
课堂小结
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的 两种恒等变形. 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项 式的形式，特征是向着积化和差的形式发展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)因式分解Fra bibliotek基础闯关2
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？
（1）a(a 2b) a2 2ab 否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2) 是
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形 为因式分解，两种变形互为逆运算变形过程.
基础闯关1
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
第一章 因式分解
1.1 因式分解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
结束
(4)x2 2x 1 x(x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc 否
课堂小结
1、对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的 两种恒等变形. 2、整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项 式的形式，特征是向着积化和差的形式发展； 3、多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)因式分解Fra bibliotek基础闯关2
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？
（1）a(a 2b) a2 2ab 否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2) 是
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形 为因式分解，两种变形互为逆运算变形过程.
基础闯关1
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
第一章 因式分解
1.1 因式分解
993-99能被100整除吗？
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
九年级数学上册教学课件《因式分解法》
探究新知
21.2 解一元二次方程
【提示】 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的方法;
3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.
探究新知
21.2 解一元二次方程
归纳总结
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程右边化为等于0的形式； 2. 将方程左边因式分解为A×B； 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程； 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
巩固练习
21.2 解一元二次方程
解下列方程：
（1）x2 + x = 0; (2) x2 - 2 3x = 0; (3) 3x2 - 6x = -3; (4) 4x2 -121 = 0; (5) 3x(2x +1) = 4x + 2; (6) (x - 4)2 = (5 - 2x)2.
（1） x2+x=0 解： 因式分解，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
1
x1= 2
1
， x2= - 2 .
探究新知
21.2 解一元二次方程
方法点拨
一.因式分解法简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
二.选择解一元二次方程的技巧：
1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的 方程. 2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的 形式的方程. 3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.
探究新知
21.2 解一元二次方程
素养考点 1 因式分解法解一元二次方程
例1 解下列方程： （1）x(x-2)+x-2=0
小学数学因式分解课件
帮助学生理解因式分解的概念和原理 提高学生运用因式分解解决实际问题的能力 培养学生的数学思维和逻辑思维能力 激发学生对数学的兴趣和热爱
适用对象
适用人群：小学数 学教师和学生
适用年级：小学中 高年级
适用课程：数学课 程中的因式分解部 分
适用目标：掌握因 式分解的基本方法 和技巧，提高数学 解题能力
课件特点
课件使用说明
第七章
操作说明
打开课件：双击课件文件，等待加载完成 菜单栏：点击菜单栏，选择相应功能 工具栏：使用工具栏按钮，快速执行常用操作 内容区：根据需要拖动滚动条查看内容
使用技巧
掌握因式分解的 基本概念和原理
熟悉因式分解的 常用方法
学会运用因式分 解解决实际问题
掌握课件的操作 方法和使用流程
内容丰富：涵盖了小学数学因式分解的各个方面，包括定义、原理、方法 等。
图文并茂：采用大量的图形和图片，帮助学生更好地理解因式分解的概念 和方法。
互动性强：设计了多种互动环节，如小游戏、练习题等，激发学生的学习 兴趣和参与度。
易于使用：界面简洁明了，操作方便，适合不同年龄段的小学生使用。
教学内容
第三章
感谢您的观看
汇报人：XX
因式分解的定义
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 因式分解是数学中的一种基本技能 因式分解有助于理解和掌握代数的基本概念和性质 因式分解在数学和其他学科中有广泛的应用
因式分解的方法
提公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘法
因式分解的步骤
提取公因式
公式法：平方差公式， 完全平方公式
课件的设计理 念：以生动有 趣的方式呈现 因式分解的知 识点，通过丰 富的互动和实 例帮助学生理
解和掌握。
适用对象
适用人群：小学数 学教师和学生
适用年级：小学中 高年级
适用课程：数学课 程中的因式分解部 分
适用目标：掌握因 式分解的基本方法 和技巧，提高数学 解题能力
课件特点
课件使用说明
第七章
操作说明
打开课件：双击课件文件，等待加载完成 菜单栏：点击菜单栏，选择相应功能 工具栏：使用工具栏按钮，快速执行常用操作 内容区：根据需要拖动滚动条查看内容
使用技巧
掌握因式分解的 基本概念和原理
熟悉因式分解的 常用方法
学会运用因式分 解解决实际问题
掌握课件的操作 方法和使用流程
内容丰富：涵盖了小学数学因式分解的各个方面，包括定义、原理、方法 等。
图文并茂：采用大量的图形和图片，帮助学生更好地理解因式分解的概念 和方法。
互动性强：设计了多种互动环节，如小游戏、练习题等，激发学生的学习 兴趣和参与度。
易于使用：界面简洁明了，操作方便，适合不同年龄段的小学生使用。
教学内容
第三章
感谢您的观看
汇报人：XX
因式分解的定义
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 因式分解是数学中的一种基本技能 因式分解有助于理解和掌握代数的基本概念和性质 因式分解在数学和其他学科中有广泛的应用
因式分解的方法
提公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘法
因式分解的步骤
提取公因式
公式法：平方差公式， 完全平方公式
课件的设计理 念：以生动有 趣的方式呈现 因式分解的知 识点，通过丰 富的互动和实 例帮助学生理
解和掌握。
初中数学人教版九年级上册《2123因式分解法》教学课件
十字相乘法： 简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘 等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实就是运用 乘法公式 (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分 解.
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0的方程，
人教版 九年级数学上
21.2.3
因式分解法 一元二次方程
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2分解因式.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
其解为 x n m.
配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). 解：(2) 3x(x-1)-2(x-1)=0，
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0的方程，
人教版 九年级数学上
21.2.3
因式分解法 一元二次方程
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2分解因式.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
其解为 x n m.
配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). 解：(2) 3x(x-1)-2(x-1)=0，
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
因式分解法数学九年级上册同步教学课件(人教版)
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到
0.01s)?
解析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高
度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.4 因式分解法
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
x2 100 x 0， 49
分析：二次项的系数为1， 可用配方法来解题较快.
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平 方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0.
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
解：方程整理得
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0，则
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，
则 (x + 1)(x − 4) = 0. ∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 即 x1 = −1，x2 = 4．
21.2.4 因 式 分 解 法
21.2.4 因式分解法
知识回顾
1. 解一元二次方程的基本思路是什么？ 降次
2.我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？ 直接开平方法，配方法，公式法.
21.2.4 因式分解法
情景导入
《用公式法进行因式分解》PPT教学课件
作业布置
课本P.124第1、2题
青岛版初中数学七年级下册
第十二单元
用公式法进 行因式分解
-.
导入新课
运用平方差公式和完全平方公式分解因式的关键：
运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的 多项式看成两个数（或者式）的平方差，尤其当系 数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
运用完全平方公式分解因式的关键是要把分解 的多项式看成两个数（或者式）的平方和加上（或 减去）它们乘积的２倍。
(m n 3)2
课堂练习
(3)(m n)4 10(m n)2 25
[(m n)2 ]2 2 (m n) 5 52 ] [(m n)2 5]2
(m2 2mn n2 5)2
课堂练习
6.已知x,
y满足
2x y x 3y
6，不解方程组， 1
求7 y(x 3y)2 2(3y x)3的值。
课堂练习
7.若x2 (m 3)x 4是完全平方式， 则实数m的值是 ______ .
课堂练习
解：两种情况：
（1）如果x2 (m 3)x 4 (x 2)2 则m 3 4即m 7;
(2)如果x2 (m 3)x 4 (x 2)2 则m 3 4即m 1;
m 7或 1。
B、-1
C、 2
D、-2
9
课堂练习
3．把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1
x2 x 1x 1
x 1x2 1
2 x2 x y y2 y x
x yx2 y2
x y2 x y
课堂练习
4．把下列多项式分解因式 (1 3ax2＋6axy＋3ay2 )解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2
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(1).对象必须是多项式. (2).结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).结果必须要分解完全. 4.体现了“从特殊到一般”的数学思想
作业
课本94页 习题4.1
ห้องสมุดไป่ตู้
3，4, 5
练习：若x²+2x-m=(x-1)( x+n),则
m=__3__,n=__3___.
合作探究
993-99能被99整除吗？你是怎样想的？
993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×(99+1)(99-1) =98×99×100
∴ 993-99能被99整除.
想一想：
993-99还能 被哪些整 数整除？
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
和 差 化 积
整式的积
归纳总结
判断变形是因式分解应满足哪些条件？
1、对象必须是多项式。 2、结果一定是几个整式的乘积的形式。 3、要分解完全。
做一做
3.已知多项式2x2+mx+3可分解为 (x+1)(2x+3)你能求出m的值吗?
（x+1)(2x+3)=2x2+5x+3 2x2+mx+3=2x2+5x+3 m=5
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
轻松一刻
计算：
2×3×5= 30 这是整数乘法运算，
30 可以写成哪些因数的乘积？ 30= 2×3×5 质因数的积
2×3×5
整数乘法
因数分解 30
做一做
整式的积 多项式 多项式 整式的积
计算下列各式:
(1) a(a+1)(a-1)= a3-a ;
根据左面的算式填空: a3-a =( a )( a+1 )( a-1 )
整式乘法 关系互逆？关系？？分解因式
归纳总结
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整 式积的形式,这种变形叫做把这 个多项式分解因式.
分解因式与整式乘法是互逆过程， 互为逆运算
巩固概念
1.判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
想一想
将99换成其他任意一个大于1的整 数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3-a =a·a2-a =a(a2-1) =a(a+1)(a-1) =a(a-1)(a+1)
上面式子化成了几个整式积的形式
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
1.分解因式的概念. 2.整式乘法是积化和差的过程;而分解因式是和差化 积的过程；它们是互逆运算. 3.分解因式要注意以下几点:
巩固概念
2.下列式子从左到右的变形是 否为因式分解？为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc
(2)m(a+b+c)= ma+mb+mc; ma+mb+mc=(m )(a+b+c )
(3) ( x+1)2= x2+2x+1 ;
x2+2x+1 =( x+1 )2
(4)(m+4)(m-4)= m2-16 ; m2-16 =( m+4 )( m-4 )
(5)3x(x-1)= 3x2-3x .
3x2-3x=( 3x )( x-1 )
作业
课本94页 习题4.1
ห้องสมุดไป่ตู้
3，4, 5
练习：若x²+2x-m=(x-1)( x+n),则
m=__3__,n=__3___.
合作探究
993-99能被99整除吗？你是怎样想的？
993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×(99+1)(99-1) =98×99×100
∴ 993-99能被99整除.
想一想：
993-99还能 被哪些整 数整除？
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
和 差 化 积
整式的积
归纳总结
判断变形是因式分解应满足哪些条件？
1、对象必须是多项式。 2、结果一定是几个整式的乘积的形式。 3、要分解完全。
做一做
3.已知多项式2x2+mx+3可分解为 (x+1)(2x+3)你能求出m的值吗?
（x+1)(2x+3)=2x2+5x+3 2x2+mx+3=2x2+5x+3 m=5
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
轻松一刻
计算：
2×3×5= 30 这是整数乘法运算，
30 可以写成哪些因数的乘积？ 30= 2×3×5 质因数的积
2×3×5
整数乘法
因数分解 30
做一做
整式的积 多项式 多项式 整式的积
计算下列各式:
(1) a(a+1)(a-1)= a3-a ;
根据左面的算式填空: a3-a =( a )( a+1 )( a-1 )
整式乘法 关系互逆？关系？？分解因式
归纳总结
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整 式积的形式,这种变形叫做把这 个多项式分解因式.
分解因式与整式乘法是互逆过程， 互为逆运算
巩固概念
1.判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
想一想
将99换成其他任意一个大于1的整 数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3-a =a·a2-a =a(a2-1) =a(a+1)(a-1) =a(a-1)(a+1)
上面式子化成了几个整式积的形式
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
1.分解因式的概念. 2.整式乘法是积化和差的过程;而分解因式是和差化 积的过程；它们是互逆运算. 3.分解因式要注意以下几点:
巩固概念
2.下列式子从左到右的变形是 否为因式分解？为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc
(2)m(a+b+c)= ma+mb+mc; ma+mb+mc=(m )(a+b+c )
(3) ( x+1)2= x2+2x+1 ;
x2+2x+1 =( x+1 )2
(4)(m+4)(m-4)= m2-16 ; m2-16 =( m+4 )( m-4 )
(5)3x(x-1)= 3x2-3x .
3x2-3x=( 3x )( x-1 )