南开大学数学文化-11若干数学典故中的数学文化-历史上的三次数学危机

稿”）； 有的“图”如果在电子稿上有困难，可以在打印稿上“手绘”； 详细“要求”请看 “数学文化”课件1； “格式要求”与《数学之美》的投稿要求相同
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《数学之美》征稿启事
本刊采用数学大师陈省身先生的“数学之美”题词作为刊名，希望通过学生对数学之美的感悟，激发学习数学的兴趣，培养创新的意识，锻炼写作的能力；同时也提供一个交流的平台。 本刊是面向全校本科生征稿的内部刊物，原则上每年出版一期，热忱地欢迎全校学生踊跃投稿。 稿件内容可以包括：1.学习数学的心得和感想；
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2．危机的实质
第一次数学危机的实质是 “ 2 不是有
理数，而是无理数”。那么第二次数学危机 的实质是什么？应该说，是极限的概念不清 楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微 积分理论缺乏逻辑基础。
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其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。
关键词：经济模型；非线性微分方程；极限环
1 问题的提出
我们对物价变化的处理采用线性微分方程模型，……
1.1 对原有模型的评价
原有模型的……
参考文献
[1]秦元勋，微分方程所定义的积分曲线（下册），科学出版社，1959，309-311.
[2]张世英，李文杰，非均衡微观市场的调控机制研究，系统工程学报，1995，102）.
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最 终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的 比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的 比”，而是“比所趋近的极限”。
他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。
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德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分，但是也没有明确给出极限的定义。
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一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第二章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
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这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比 构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。
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当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危 机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比” 的新说法，回避了2 是无理数的实质，而是用几 何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几 何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧 几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致 在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密 数学的基础。
插图应有图注。图注包含图的编号和图的说明两部分，如“图1 文艺复兴时期的油画”，图注 用加粗宋体小五号字。即使全文只有一幅插图，也需编号。
表格应有表头。表头包括表的编号和表的说明两部分，如“表1 2007年各月的商品房平均售价”， 表头用加粗宋体小五号字。即使全文只有一张表格，也请编号。
参考文献位于正文最后，参考文献字样左对齐用黑体五号字，参考文献内容用楷体五号字。
4、作者用楷体五号字，居中。作者所属学院、专业、学号用仿宋体五号字，居中，且用圆括号 括住。
摘 要、关键词等字样用黑体五号字体，后面紧跟黑体冒号；摘要、关键词内容用楷体小四号字。 摘要的内容一般不超过150个汉字。关键词之间以分号分割，最后一个关键词之后不加标点符号。 关键词一般为3至5个。
文章正文内容用宋体五号字，不要在正文开始之前写“正文”两字。数学公式请一律用word的 公式编辑器书写（在正文中出现的变量等也请用公式编辑器书写）。正文的第一级标题用黑体五 号字，标题编号请用阿拉伯数字，如“1 前言”；正文第二级标题用楷体五号字，如“1.1 数学 抽象的特点”，以下依次类推。一般情况下，标题请不要超过三级。
正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
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莱布尼茨
牛顿
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3．危机的解决 1）必要性
微积分虽然在发展，但微积分逻辑 基础上存在的问题是那样明显，这毕竟 是数学家的一块心病。
2.对数学方法和数学思想的体会； 3.关于数学与本学科的联系； 4.对数学某知识点的进一步思考； 5.对数学之美的感悟和对数学文化的理解。 稿件格式要求： 1、稿件要求有题目、作者情况（姓名、学院、专业、学号）、摘要、关键词、正文、参考文献共6个部分。 2、稿件一律要求采用word格式录入的电子版。 3、论文题目用黑体四号字，居中，单独成行；论文题目副标题用宋体小四号字，居中，单独成行，且以波折号引导。 4、作者用楷体五号字，居中。作者所属学院、专业、学号用仿宋体五号字，居中，且用圆括号括住。 摘 要、关键词等字样用黑体五号字体，后面紧跟黑体冒号；摘要、关键词内容用楷体小四号字。摘要的内容一般不超过150个汉字。关键词之间以分号分割，最后一个关键词之后不加标点符号。关 键词一般为3至5个。 文章正文内容用宋体五号字，不要在正文开始之前写“正文”两字。数学公式请一律用word的公式编辑器书写（在正文中出现的变量等也请用公式编辑器书写）。正文的第一级标题用黑体五号字， 标题编号请用阿拉伯数字，如“1 前言”；正文第二级标题用楷体五号字，如“1.1 数学抽象的特点”，以下依次类推。一般情况下，标题请不要超过三级。 插图应有图注。图注包含图的编号和图的说明两部分，如“图1 文艺复兴时期的油画”，图注用加粗宋体小五号字。即使全文只有一幅插图，也需编号。 表格应有表头。表头包括表的编号和表的说明两部分，如“表1 2007年各月的商品房平均售价”，表头用加粗宋体小五号字。即使全文只有一张表格，也请编号。 参考文献位于正文最后，参考文献字样左对齐用黑体五号字，参考文献内容用楷体五号字。 全文行间距为“单倍行间距”。
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们要求物体在 t0 的瞬时速度，先求
S t
。
S
S (t1 )
S(t0 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02
]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S
1
t gt0 2 g(t)
（*）
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当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
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2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈 攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个 量，究竟是不是0？
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S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
《数学之美》编委会每年将评选优秀论文。优秀论文设 一等奖、二等奖、三等奖各若干名。
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稿件样例
(放到ppt上以后，字体及样式全都改变了，所以还要请大家从网上看真正的“稿件样 例”)
物价的非线性经济模型的渐近性态
——简论近期物价走势
刘英华
（经济学院 经济学专业 002008001）
摘 要：本文研究了一类物价的非线性经济模型的渐近性态。
牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
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t 例如，设自由落体在时间 下落的距离为S(t)，
有公式 S(t) 1 gt，2 其中 g 是固定的重力加速度。我
趣题——找次品：
1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。
现再给你一个标准球；请用一架不带 砝码的天平，最多两次使用该天平，找 出上述次品乒乓球。
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关于“读书报告”
不少于3000字； 着重在“读书”及“数学思想”； 于第15周以前交来（即12月12日以前交来）； 既交电子稿，也交打印稿（电子稿要见到我的“回复”邮件才算“交
这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，
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贝克莱的质问是击中要害的
数学家在将近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。
直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了 贝克莱的责难。
直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
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3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数 理论的建立。
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二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
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1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小”
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第三章 若干数学典故中的数学文化
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第二节 历史上的三次数学危机（2）
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历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战， 危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是数学的基本 部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危 机，引发了数学上的三次思想解放，大大推 动了数学科学的发展。
投稿方式：1、随时用邮件发送到《数学之美》编辑部nksxzm@nankai.edu.cn； 2、电子邮件主题请注明“《数学之美》投稿”，并留下手机号码以便联系。
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附：稿件样例。
物价的非线性经济模型的渐近性态
——简论近期物价走势
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[2]张世英，李文杰，非均衡微观市场的调控机制研究，系统工程学报，1995，10（2）.
1、稿件要求有题目、作者情况（姓名、学院、专业、学号）、摘要、关键词、正文、参考文献 共6个部分。
2、稿件一律要求采用word格式录入的电子版。
3、论文题目用黑体四号字，居中，单独成行；论文题目副标题用宋体小四号字，居中，单独成 行，且以波折号引导。
刘英华
（经济学院 经济学专业 002008001）
摘 要：本文研究了一类物价的非线性经济模型的渐近性态。
关键词：经济模型；非线性微分方程；极限环
1 问题的提出
我们对物价变化的处理采用线性微分方程模型，……
1.1 对原有模型的评价
原有模型的……
参考文献
[1]秦元勋，微分方程所定义的积分曲线（下册），科学出版社，1959，309-311.
全文行间距为“单倍行间距”。
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而且，随着时间的推移，研究范围的扩 大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无 穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由 此得到许多错误的结论。由于没有严格的极 限理论作为基础。数学家们在有限与无限之 间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
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因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g(t) 就不能
任意去掉。
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在推出上式时，假定了t 0才能做除法，所以
上式的成立是以 t 0为前提的。那么，为什么又
可以让 t 0而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
5 0 3 0 出发，两端同除以0，得出5=3一样
的荒谬。
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贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂” 了。