专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

(1)求树 DE 的高度； (2)求食堂 MN 的高度．
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(第 2 题)
构造形如“
”的两个直角三角形解实际问题
3．【2016·资阳】如图，“中国海监 50”正在南海海域 A 处巡逻，岛礁 B 上的中国海 军发现点 A 在点 B 的正西方向上，岛礁 C 上的中国海军发现点 A 在点 C 的南偏东 30°方向 上，已知点 C 在点 B 的北偏西 60°方向上，且 B，C 两地相距 120 海里．
tan G tan 30° ∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8， 设 AB＝x m， ∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°， ∴BC＝x，BG＝ AB ＝ x ＝ 3x，
tan G tan 30° ∵BG－BC＝CGBiblioteka Baidu ∴ 3x－x＝8， 解得：x≈11. 答：电线杆的高约为 11 m. 5．解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. 在 Rt△ABF 中，∠ABF＝α＝60°， ∴AF＝AB·sin 60°＝20× 3＝10 3(m)．
∴树 DE 的高度为 6 米；
(第 2 题) (2)如图，延长 NM 交 DB 的延长线于点 P，则 AM＝BP＝3.
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由(1)知 CD＝ 3x＝ 3×6＝2 3，BC＝2 3， 33
∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2 3＋2 3＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°， ∴NP＝PD＝3＋4 3. ∵MP＝AB＝2， ∴NM＝NP－MP＝3＋4 3－2＝1＋4 3， ∴食堂 MN 的高度为(1＋4 3)米． 3．解：(1)如图所示，过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 延长线于点 D，
(第 6 题)
7．【2017·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得 教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB＝30 m.
(1)求∠BCD 的度数． (2)求教学楼的高 BD.(结果精确到 0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)
∴EF＝DE－DF＝x－2.
∵∠EAF＝30°，
∴AF＝ tan
∠EFEAF＝x－32＝
3(x－2)．
3
又∵CD＝ tan
DE ＝ ∠DCE
x＝ 3
3x，BC＝
3
tan
AB ＝ ∠ACB
2 3＝2
3，
3
∴BD＝BC＋CD＝2 3＋ 3x. 3
由 AF＝BD 可得 3(x－2)＝2 3＋ 3x， 3
解得 x＝6.
tan 60° 3 在 Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴C′B′＝ EC′ ＝ 3(4x＋1)m.
tan 30° ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB， ∴ 3(4x＋1)－ 3(5x＋1)＝14.
3 解得 x≈3.18. ∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)． 答：居民楼的高度约为 18.4 m.
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则 BH＝BC·sin 30°＝(8＋8 3)m. 答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋8 3) m. 7．解：(1)如图所示，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，
(第 7 题)
∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°. (2)由题意得，CE＝AB＝30 m， 在 Rt△CBE 中，BE＝CE·tan 20°， 在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan 18°， ∴教学楼的高 BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20.4(m)． 答：教学楼的高约为 20.4 m. 8．解：设每层楼高为 x m， 由题意得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)， 则 DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m. 在 Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝ DC′ ＝ 3(5x＋1)m.
专训 3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型
名师点金： 解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算 距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形， 建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问 题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点 题型．
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(1)求出此时点 A 到岛礁 C 的距离； (2)若“中国海监 50”从 A 处沿 AC 方向向岛礁 C 驶去，当到达点 A′时，测得点 B 在 A′ 的南偏东 75°的方向上，求此时“中国海监 50”的航行距离．(注：结果保留根号)
(第 3 题)
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4．【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们 测量学校附近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电 线杆的影子(折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°， 在 C 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 45°，斜坡与地面成 60°角，CD＝4 m，请你根据这些数 据求电线杆的高(AB)．(结果精确到 1 m，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
2 在 Rt△AEF 中，β＝45°，∴AF＝EF， ∴AE＝ AF2＋EF2＝ （10 3）2＋（10 3）2＝10 6(m)． 答：改造后的坡长 AE 为 10 6 m.
(第 5 题)
(第 6 题)
6．解：如图，作 AD⊥BC 于 D，BH⊥水平线于 H， 由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH， ∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°， ∵AB＝4×8＝32(m)， ∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cos30°＝16 3 m， ∴BC＝CD＋BD＝(16＋16 3)m，
(第 4 题)
5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，坡角α＝60°. 汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长 AB＝20 m，求改造后的 坡长 AE(结果保留根号)．
(第 5 题)
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构造形如“
”的两个直角三角形解实际问题
6．【2016·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从 A 处水平飞行 至 B 处需 8 s，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75°，B 处的仰角为 30°.已知 无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．
(第 3 题)
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120 海里， 则 DC＝60 海里， 故 cos 30°＝DC＝ 60 ＝ 3，
AC AC 2 则 AC＝40 3海里． 答：点 A 到岛礁 C 的距离为 40 3海里． (2)如图所示：过点 A′作 A′N⊥BC 于点 N，A′E⊥AD 于点 E， 可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°. ∴∠A′BE＝∠A′BC，即 BA′平分∠CBA. ∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°， 设 AA′＝x，则 A′E＝ 3x，
(第 1 题)
2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂 楼底 M 处出发，向前走 3 米到达 A 处，测得树顶端 E 的仰角为 30°，他又继续走下台阶到 达 C 处，测得树的顶端 E 的仰角是 60°，再继续向前走到大树底 D 处，测得食堂楼顶 N 的 仰角为 45°.已知 A 点离地面的高度 AB＝2 米，∠BCA＝30°，且 B，C，D 三点在同一直线 上．
(第 7 题)
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构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题 8．【2017·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度．该楼底层 为车库，高 2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测得五 楼顶部点 D 的仰角为 60°，在 B 处测得四楼顶部点 E 的仰角为 30°，AB＝14 m．求居民楼 的高度．(精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
2 故 CA′＝2A′N＝2A′E＝2× 3x＝ 3x，
2 ∵ 3x＋x＝40 3，∴x＝20(3－ 3)海里． 答：此时“中国海监 50”的航行距离为 20(3－ 3)海里． 4．解：延长 AD 交 BC 的延长线于 G，作 DH⊥BG 于 H，如图所示．则∠G＝30°.
(第 4 题)
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在 Rt△DHC 中，∠DCH＝60°，CD＝4， 则 CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos 60°＝2， DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝2 3， ∵DH⊥BG，∠G＝30°， ∴HG＝ DH ＝ 2 3 ＝6，
(第 8 题)
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答案
1．解：如图，过点 A 作 AC⊥OB，垂足为点 C，
(第 1 题)
在 Rt△ACO 中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 米，
∴AC＝AO·sin ∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)．
∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，
∴车门不会碰到墙．
2．解：(1)设 DE＝x.∵AB＝DF＝2，
构造一个直角三角形解实际问题 1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与 墙 MN 平行且距离为 0.8 米，已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB 为 40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)