微积分第八章二重积分习题解答

第八章习题解答
练习
3． 解：(1)在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+ 故
23
()()D
D
x y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. (2)由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=
从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以
2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.
4．解: (1)114
(,)x y x y D ≤++≤∈由于
所以
(1)4D
D
D
d x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(1)4(2D D D D
S x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）
21)8D
x y d σ≤++≤⎰⎰（.
(2) 因为22
9913(,)x y x y D ≤++≤∈
所以2
29(9)134D D D D
S x
y d S S σπ≤
++≤=⎰⎰
2236(9)52D
x y d πσπ≤++≤⎰⎰.
5. 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2
()1x y +≤
22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤
于是
2
2
()0D
In x
y d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.
练习
1. 对.因为根据定理1有 所以等式成立.
2. (1)由已知的二次积分得积分区域2
:12,1D x y x ≤≤≤≤ 推出D 由2
,1,2y x y x ===围成；
y
x
x y +=
1
y =x
x
写成y
型区域:142D y x ≤≤≤≤
故
2
2
1
1
(,)x dx f x y dy =
⎰⎰
⎰⎰D
d y x f σ),(=⎰
⎰241
),(y
dx y x f dy .
（2）由已知得积分区域D 为：y x y y ≤
≤≤≤，10
推出D 由2,y x y x ==围成； 写成x 型区域2
:01,D x x y x ≤≤≤≤
故
1
(,)y
dy f x y dx =
⎰
⎰⎰
D
d y x f σ),(=21
(,)x
x
dx f x y dy ⎰⎰.
（3）由已知得积分区域D 为：y x y
y ≤≤≤≤121，
推出D 由1
,,2y y x y x
=
==围成； 将D 写成x 型区域
1D :
11
1,22x y x
≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤
故
2
11
(,)y y
dy f x y dx ⎰
⎰=12112(,)x
dx f x y dy ⎰⎰+22
1(,)x
dx f x y dy ⎰⎰.
（4）由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成
1D : 01,0x y x ≤≤≤≤ 2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-
推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域:012D y y x y ≤≤≤≤-，
故 1220
1
(,)(,)x
x
dx f x y dy dx f x y dy -+=
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰-y
y
dx y x f dy 210
),(.
3. (1)
11
3233230
(3)(3)D
x x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰
x
2
x
1x
x
=2
y =2
x
x
431
011()1424
x x x =++=.
(2)
3
32
2
112
2
2
2
(1)
(1)
D
y
y d dx dy x
y x y σ=++++⎰⎰⎰⎰
=
321
12
220
011[
]2(1)dy dx x y ++⎰
⎰
=
110
-⎰
⎰
（利用第六章公式）
2)ln(1=-.
(3)由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；
=
[sin()]x
x x y dx π
+⎰
3
22
π
ππ=-
-=-. (4)D 为：2,,22
y p
p y p x p -≤≤≤≤ =2222
22
p
y p
p
p x y dy -⎰
=24
2
2
()88p
p p y y dy p --⎰ 237
50
212283
87
21
p p p y y p p =⋅⋅
-⋅⋅
=. 4.(1) 因为222:D x y a +≤
极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，
所以
20
(,)(cos ,sin )a
D
f x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰
⎰⎰
(2)因为22:2D x y x +≤，即22
(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ==代入2
2
2x y x +=得
222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)
x
x
y
x 2
p y -22y px
=
极坐标系下:02cos 2
2
D r π
π
θθ-≤≤
≤≤，
所以
2cos 20
2
(,)(cos ,sin )D
f x y dxdy d f r r rdr π
θ
πθθθ-
=⎰⎰
⎰⎰
.
5. (1)
已知:0,
0D x R y ≤≤≤≤为
推出D 由222,0,0x y R y x +===围成； 极坐标系下:002
D r R π
θ≤≤
≤≤，
22
()R
d f r rdr πθ=⎰⎰.
(2)已知D
为：02,
0y R x ≤≤≤≤
推出D 由2
2
2x y Ry +=即2
2
2
(),0x y R R x +-==围成； 将cos ,sin x r y r θθ==代入2
2
2x y Ry +=得
22
2sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)
极坐标系下:002sin 2
D r R π
θθ≤≤
≤≤，
20
(,)R
dy f x y dx ⎰
2sin 200
(cos ,sin )R d f r r rdr π
θ
θθθ=⎰⎰.
6. (1)2
2
:4D x y +≤
极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，
220
8
8
16sin cos 163
3
πππθ
θπ=-+=.
(2)2
2
:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012
D r π
θ≤≤
≤≤，
()(1)(2)42428
ππ
πππ
π=
=-=-. (3) 2
2
2
:2,0,0D x y x y +≤≥≥
极坐标系下:0022
D r π
θ≤≤
≤≤，
5
5
11
(ln )4
t t dt π
=
-⎰(5ln 54)4
π
=
-.
(4) 2
2
2
2
:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥
x
极坐标系下:022
D r π
θππ≤≤
≤≤，
2222(cos )
(cos cos 4)4
4
r π
π
π
π
ππ=
-=
-.
练习8.3
1. (1) 22x y x y +≤+由
，得2
2
211()()2
2
x y -+-≤ 令11,,22u x v y =-
=-作变换11,,22
x u y v =+=+ 101001
J =
=≠ 在变换下D 变成22
1:2D u v '+≤
原积分20
cos sin 1)d r r rdr π
θθθ=
++⎰
220
(sin cos )12
4
2
ππθ
π
θθ=
-+
=
.
（2）令,,x y
u v a b
=
= 作变换,,x au y bv == 000a J ab b
=
=≠ 在变换下D 变成22
:1D u v '+≤
原积分21
2222220
(cos sin )d a r b r abrdr π
θθθ=
+⎰
⎰
2
2()4
ab a b π=
+. 2. 令 ,,y u x y v x =+= 作变换,,11u uv
x y v v
=
=++ 在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤
2
221()()
()()2
12(1)(1)
n b m
a u
b a n m v a b --=⋅-=
+++. 习题8
1. 填空题 （1）312I I I <<
因为01y <<,所以12
2y y y <<；而3
0x <，于是13323
2
y x yx y x <<，故312I I I <<.
(2)()(1)()x x f x ϕ=- 所以()(1)()x x f x ϕ=-. (3)1k =
31(0)k k =>，所以 1k =.
(4)()x ϕ=
因为0,y a x ≤≤≤≤
推出D 为2
2
2
x y a +=的上半圆；
换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤
所以()x ϕ=
(5)
1
1
10
1
()()x
x dx x y dy dx x y dy ---++⎰
⎰⎰⎰
由12D D D =
有
1
1
10
1
()()()x
x D
x y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
.
(6)12((),())y y ϕϕ= 因为
3
2
231
1
320
(,)(,)([0,1])x x x
x
dx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰
⎰⎰⎰
由已知推出D 由3
2
,y x y x ==围成；
换积分次序有:01,D y x ≤≤≤
所以原二次积分211
11
()
()
(,)(,)(,)y y dy
f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ϕϕ=-==⎰⎰⎰⎰
故
12((),())y y ϕϕ=.
(7)a =
因为:020D r a θπ≤≤≤≤，
a
33231,32a a ==
，所以a =. (8)2()2()F t tf t π'=
由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算
2()2()F t tf t π'=.
2. 选择题 (1) C
由已知有1
410102002
D S =⋅
⋅⋅=, 据二重积分中值定理有22200
(,)100cos cos D I f S ξηξη
=⋅=
++(,)D ξη∈
又2
20cos
cos 2ξη<+<,得
200200
102100
I << 即1.962I <<，故选C . (2) C
因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，
关于
y 、x 都是偶函数，所以124I I =，故选C .
(3) C
因为:01,0D x y ≤≤≤≤
1
D
xydxdy dx =⎰⎰⎰, 故选C .
(4) C
已知:00cos 2
D r π
θθ≤≤
≤≤ 由cos r θ=有2
cos r r θ=得22
x y x +=
即22211()()22
x y -+=，推出D 为22
211()()22x y -+=的上半圆；
所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 2
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ=⎰
⎰
1
(,)dx f x y dy ⎰， 故选C .
(5) B
正确的是(,)(,)b d d b
a
c
c
a
dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .
(6) D
已知:01
01D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；
换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤-
所以1
100
(,)x
dx f x y dy -=
⎰⎰
1
10
(,)y dy f x y dx -⎰
⎰
, 故选D .
(7) C
由1r =有21r =得22
1x y +=
1
2D
D S d d σσ==⎰⎰⎰⎰,1D 是D 在x 轴上方部分
22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=
⎪⎩
交点：11)22- 故有1sin ,26πθθ== 于是S
=1
/6
1
2
2D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰
, 故选C .
(8) A .B .C
1
1212A I S ∆==
⋅⋅=,(21)(43)1B I S ==-⋅-=矩, 211[()]122C I S ==--=矩,1
441122D I S ∆==⋅⋅⋅=, 故选A .B .C .
(9) A .B .C 因为
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰
常数，所以(,)0D
d
f x y dxdy =⎰⎰
，
(,)0D
f x y dxdy x ∂
=∂⎰⎰ (,)0D
f x y dxdy y ∂
=∂⎰⎰， 故选A .B .C . (10) C .D
12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选C .D .
(11) C 已知:01
0D x y x ≤≤≤≤,推出D 由,0,1y x y x ===围成；
换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤
1
(,)x dx f x y dy ⎰
⎰=1
10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰, 故选C .
(12) B 因为
22
213D D
dxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰， 故选B . (13) B
由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而
1
2D D D =,所以(,)D
f x y dxdy ⎰⎰1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .
(14) A 设1
234D D D D D = (如图)
12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y 关于x
xy 关于x 是奇函数；
3
4:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；
12
34
(cos sin )(cos sin )(cos sin )D
D D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy
+=++
+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
1
1
2cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .
(15) C 因为
2
00
()()[()](
)[()]2
x dx xf y dy xdx f y dy f y dy π
πππ
π
π
=⋅=⋅⎰
⎰⎰⎰
⎰
2
()12
f y dy π
π=
=⎰
,所以2
2
()()f y dy f x dx π
π
π==
⎰⎰, 故选C .
(16) A
11
00
()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选
A . (17) D 由已知22222(1)1y x y x x y =
+=-+=有得
推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成； 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得
222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)
所以极坐标系下:02cos 42
D r ππ
θθ≤≤≤≤
(,)D
f x y dxdy =
⎰⎰
/2
2cos /4
(cos ,sin )d f r r rdr πθ
π
θθθ⎰⎰
, 故选D .
(18) C
由已知的:001D r θπ
≤≤≤≤推出D 为单位圆2
2
1x y +=的上半圆部分，
所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤
1
1
(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .
(19) C 由已知的D 可知
112x y ≤+≤,1
ln 2ln ln()ln102
x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>
而sin()x y x y +<+,于是3
3
3
()sin ()()ln x y x y x y +<+<+
所以132I I I <<, 故选C . (20) A
由已知有:01
0D x y x ≤≤≤≤
1
100
2sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选
A . 3. (1)由22(,)49f x y x y =++，22
:4D x y +≤显然有(0,0)9m f ==
最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++满足222
2x y +=的最值，将2
2
4y x =-代入有2
2
2
()4(4)9325f x x x x =+-+=-+
()60f x x '=-=令
得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==
于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以229(49)25D D D S x y d S σ≤++≤⎰⎰,4D S π= 即2
236(49)100D
x
y d πσπ≤
++≤⎰⎰
故36100I ππ≤≤.
(2) 因为
221
1(,)x y x y D e ≤+≤∈ 所以22
11ln ln()ln10x y e
-=≤+≤=
221
(1)()0D
In x y d e πσ--≤+≤⎰⎰所以1(1)0I e π-≤≤.
(3) 由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有222
2
0sin sin sin
sin 12
2
x y π
π
≤≤=
于是2
220sin
sin D D
x yd S σπ≤
≤=⎰⎰所以20I π≤≤.
4．(1) 由:11,11D x y -≤≤-≤≤ 有
11
1
1
(,)(,)D
f x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰
⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）
11
1
1
(,)dy f x y dx --=⎰⎰.（先对x 积分，后对y 积分）
(2) 将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x
(,)D
f x y d σ⎰⎰1
1
(,)x
dx f x y dy =⎰
⎰（先对y 积分，后对x 积分）
将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10
(,)D
f x y d σ⎰⎰1
(,)y
dy f x y dx =⎰
⎰. （先对x 积分，后对y 积分）
(3) 将D 表示成x 型：1,0x e y Inx ≤≤≤≤
(,)D
f x y d σ⎰⎰
1
(,)e Inx
dx f x y dy =⎰⎰
（先对y 积分，后对x 积分）
将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤
(,)D
f x y d σ⎰⎰1
(,)y
e
e dy
f x y dx =⎰
⎰
（先对x 积分，后对y 积分）
5.(1)积分区域为：x y x x -≤≤≤
≤1,2
1
0 换成y 型：y x y D ≤≤≤≤0,2
1
0:1
1120
(,)x
x
dx f x y dy -⎰
⎰
120
(,)y
dy f x y dx =
⎰
⎰
+1110
2
(,)y
dy f x y dx -⎰⎰
.
(2) 第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤
第二项积分的积分区域x y x D -≤≤≤≤20,21:2
22222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+
将两区域合并成区域D 并表示成y 型：
1
22
1
(,)(,)x
dx f x y dy dx f x y dy -+⎰
⎰⎰
120
1(,)y
dy f x y dx -=⎰⎰
.
(3) 第一项积分的积分区域为2
11:
0202
D x y x ≤≤≤≤
，,
第二项积分的积分区域为2:20D x y ≤≤≤≤
228y x y =+=由得，212
y x =
将两区域合并成区域D 并表示成y 型：
21
2
2
2
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰
⎰
⎰
2
(,)dy f x y dx =⎰.
(4) 积分区域:01,
D x y ≤≤≤≤
222211
()24
y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：
1
(,)dx f x y dy
⎰
22
1
111
1
122211
2
2
(,)(,)(,)y
y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰
⎰⎰.
6.（1）:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)
3
763
76761
3
1
02
=
⋅==⎰x dx x . (2)将D 表示成x 型分为：
111111()()22e e e e e e e e
=
----+=-. (3) :
022y
D y x y ≤≤≤≤(y 型)
432019113()24486
y y =-=. (4):01,
0D y x y ≤≤≤≤(y 型)
110
111()663t e e e
--=-+=-. (5)2
:01,D x x y x ≤≤≤≤(x 型)
10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.
7. (1) :02,12D r θπ≤≤≤≤
(2)由2
2
2
2
1112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得 将cos ,sin x r y r θθ==代入有2
2(cos sin )10r r θθ-++=
或由2222
1112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得 将cos ,sin x r y r θθ==代入有2
2(cos sin )10r r θθ-++≤
2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤
故极坐标系下:0,2
D π
θ≤≤
cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+
8．(1) 由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D 由,,2y x y x ===围成，
tan 14y x x x πθθ=
===，tan 3
y x π
θθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)
所以极坐标系下:
02sec 4
3
D r π
π
θθ≤≤
≤≤
故
2
2sec 30
4
()x
dx f dy d f r rdr π
θ
πθ=⎰
⎰⎰
.
(2) 由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成， 将cos ,sin x r y r θθ==代入2,1y x x ==得
2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)
sec (1r x θ==的极坐标方程)
所以极坐标系下1:00sec 4D r π
θθ≤≤≤≤
故
2
1
sec sec tan 440
(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdr
π
π
θ
θθ
θθθθθθ=-⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
sec sec tan 40
00
[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d π
θ
θθθθθθθ=-⎰⎰
⎰
故2
1
sec 40
sec tan (,)(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr π
θ
θθ
θθθ=⎰
⎰
⎰⎰
.
9. (1)
22:D x y x +≤,由2222211
()()22
x y x x y +≤-+≤有
将cos ,sin x r y r θθ==代入2
2
x y x +=得
22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)
所以极坐标系下:,0cos 2
2
D r π
π
θθ-
≤≤
≤≤
2
30
4sin 8
(sin )53
15
π
θ
θ=-=
. (2) 将cos ,sin x r y r θθ==代入2
y x =得
2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)
所以极坐标系下:00sec tan 4
D r π
θθθ≤≤
≤≤
4
sec tan d π
θθθ=
⎰4
sec 1π
θ
==.
10. (1)1
:12,
D x y x x
≤≤≤≤(x 型) 22
1
1()x x dx x =-+⎰
=4223
21
19
()()
424
x x x x dx -=-=
⎰. (2) :3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)
2
y x =y
2
2
()D
x
y d σ+⎰⎰=322()a y a
y a
dy x y dx -+⎰⎰
443333411()1434
34
3
a a
a a
a a
y y a y a
a -=-+=.
(3) 由2
2
222()()22
R R x y Rx x y +≤-
+≤有 将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y Rx +=得
22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)
所以极坐标系下:,0cos 2
2
D r R π
π
θθ-
≤≤
≤≤
233021
33
R d R πθπ==⎰.
11.由2
24(2)4x y y
x y =-=--+有
2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)
2342
4
11
9(54)(54)232
y y y y dy y =--=--=⎰
.
12．由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成， 将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤
22
121
0111
(1)22
2
x x e dx e e ===
-⎰. 13 .因为 22()D
V x y dxdy =
+⎰⎰ 而:01,01D x y x ≤≤≤≤- 所以 11220
()x V dx x y dy -=
+⎰
⎰
123011(6431)36
x x x dx =
--+=⎰. *14 .这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到
ln ln y
b a b
y
b a
a
x x x x dy x
x
-=
=⎰
，因此I 可化为二次积分.
交换二次积分次序：
1
1
ln 1ln(1)ln(1)ln
1
1
b
b a
a
b dy y b a y a +==+=+-+=++⎰
. *15 .将(,)(,)D
f x y xy f u v dudv =+
⎰⎰两边同时二重积分
而3
1
2
10
01
3
3
D x S x dx ==
=
⎰ 所以
11(,)18D D
D
f x y dxdy xydxdy S =
=-⎰⎰
⎰⎰ 1
(,)8D
f u v dudv =⎰⎰即，所以1(,)8f x y xy =+.
*16 .1
2D D D =
{}21(,)(,),D x y x y D y x =∈≤，{}
22(,)(,),D x y x y D y x =∈≥
表示成不等式：21:11,0D x y x -≤≤≤≤
5310
246
2(2)5315
x x x =-+=. *17 .1
2D D D =
{}1(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≤
表示成不等式：1:0,D x x y πππ≤≤-≤≤
[cos()cos ](cos cos )2x dx x dx ππ
ππππ=+---=⎰⎰.
*18 .因为y
x y
e
dx +⎰
,y x y
e
dy +⎰都积不出来，
所以在直角坐标系下积分无法计算；
但注意到1
1()y x x y
y
x
e
e
f y
++==，故用极坐标系来计算.
将cos ,sin x r y θθ==代入1x y +=得
1
(1cos sin r x y θθ
=
+=+的极坐标方程)
所以极坐标系下1
:0,02
cos sin D r π
θθθ
≤≤
≤≤
+
sin cos sin 2
11
(1)2
2
e e θ
π
θθ+==-. *19 . 由已知的12D D D =
1:12,
D x y x ≤≤≤≤
，2:24,
2D x y ≤≤≤≤
推出D
由,2y x y y ===围成，
将D 表示成y 型：212,y y x y ≤≤≤≤
2
24
242(1)(1)ππππ
=-
--=+.
*20 .D 用直线y x =分割有1
2D D D =
{}1(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≤,{}2(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≥
表示成不等式：15:
,014
4
D r π
π
θ≤≤
≤≤
11[cos()sin()sin()cos()]344344ππππππππ=-+++++-+
-=
*21 .
由2222
2(1)1x x y y x y =+=+-=有即 显然y
型域易算:02,2D y x ≤≤-≤≤
而
2
⎰
2
=⎰
令1sin ,sin 1,cos y t y t dy tdt -==+= 所以
D
ydxdy ⎰⎰42
π
=-
.
*22 . 由2
2
2
2
1131()()2
2
2
x y x y x y +=++-+-=
得 令12x u -
=，1
2
y v -=有2232u v +=
12x u =+，1
2
y v =+，则 dx du dy dv ==
()D
x y dxdy +⎰⎰11()22D u v dudv '=+++⎰⎰(1)D u v dudv '=++⎰⎰D '为22
32u v +≤
极坐标系下:02,0D r θπ'≤≤≤≤
所以
()D
x y dxdy +⎰⎰20
cos sin 1)d r r rdr π
θθθ=++⎰
注意到
,
0cos 20
=⎰
θθπ
d .0sin 20
=⎰
θθπ
d
故原积分20
33.42
d π
θπ=
=⎰
*23 .因为()f u 连续，所以必有()F u 存在且()()F u f u '=，
由已知有3:11,1D x x y -≤≤≤≤ 因为2
2
6
(1)()F x F x x +-+为x 的偶函数， 所以2
2
6
[(1)()]x F x F x x +-+为x 的奇函数. 故22
22[1()]055D
I x yf x y dxdy =
++=-+=-⎰⎰. *24 .12D D D =
{}1(,)(,),D x y x y D y x =∈≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y =∈≥
表示成不等式：1:0,0D y x y π≤≤≤≤ (y 型)
2:0,0D x y x π≤≤≤≤ (x 型)
*25.由二重积分中值定理得
而222:D x y r +≤，所以2D S r π= 故2
1
lim (,)r D
f x y dxdy r π+
→⎰⎰
2
2
1lim (,)r r f r
πξηπ+
→=⋅⋅ 因为0r +
→时区域D 趋于一点，所以(,)(0,0)ξη→
又已知(,)f x y 在D 上连续，且(0,0)0f = 所以2
1
lim (,)r D
f x y dxdy r π+
→⎰⎰(,)(0,0)
lim
(,)(0,0)0f f ξηξη→===.
*26 .因为
2
()20
2
x t
t u x dt e
du --⎰⎰
2
()22
x x t u t
dt e du --=-⎰⎰
交换二次积分次序：:0,02
x
D u t u ≤≤
≤≤ 所以2
2
2
2+
+
()2()20
2
4
4
lim lim 11x
t
x
t u u
t u x x x x x dt e du
du e dt
e
e
----→→-
-
-=--⎰
⎰⎰⎰
而+
0x →时，22
4
1~4
x x e
-
--
+
0x →时，2
2
0()()20
()0x u
u
t u t u du e
dt e dt du ----→=⎰⎰⎰⎰
故原式2
+
()20
20
0lim ()0
()
4
x
u
t u x du e dt
x --→-=--⎰⎰ 或对于
2
()22
x x t e
dt --⎰
：令2x v t =-，则 2
x
t v =+，dt dv =
2
()22
x x t e
dt --⎰
=2
02
v x
e
dv --
⎰
2
2
x v e dv -
-=-⎰
于是原式2
+
2
0lim ()0
x
v x e dv x
-
-→=⎰
2
+
401lim 2
x x e -→=-12=-. *27 .因为()0f x >，所以对于任意λ都有
将上式展开得 2
[()2]0()D
f x dxdy f x λλ++≥⎰⎰
而
2
222()D
D
dxdy dxdy b a λλλ==-⎰⎰⎰⎰ 因此221
[
]2()()0()D
D
dxdy b a f x dxdy f x λλ+-+≥⎰⎰
⎰⎰( 对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有
故
21
()()()b
b a
a
dx f x dx b a f x ≥-⎰
⎰.
*28 .设:,D a x b a y b ≤≤≤≤
显然对于任意λ都有 将上式展开得
222[()][2()()]()0D
D
D
g x dxdy f x g x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立)
不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有
故222[
()()]()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ≤⋅⎰
⎰⎰.
*29.方法1）2[
()][()][()]b
b b
a
a
a
f x dx f x dx f y dy =⋅⎰
⎰⎰
而2
21()()[()()]2
f x f y f x f y ≤+ 所以2[
()]b
a
f x dx ⎰
()()D
f x f y dxdy =⎰⎰
2()()b
a
b a f x dx =-⎰.
方法2）因为2
[()()]0f x f y -≥，
所以
2
[()()]0D f x f y dxdy -≥⎰⎰:,
D a x b a y b ≤≤≤≤
即
故2
2[
()]()()b
b
a
a
f x dx b a f x dx ≤-⎰
⎰.
方法3）设:,D a x b a y b ≤≤≤≤
显然对于任意λ都有 将上式展开得22[()2()]0D
f x f x dxdy λλ++≥⎰⎰ 即22
(
)[2()]()0D
D
D
dxdy f x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有
故22[
()]()()b
b
a
a
f x dx b a f x dx ≤-⎰
⎰.
注：还可利用 *28题结论：
22222[()][()1]()1()()b b b b b a a a a a f x dx f x dx f x dx dx b a f x dx =⋅≤⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰.。