二级倒立摆的建模与MATLAB仿真毕业论文

二级倒立摆的建模与MATLAB仿真

摘要：本文根据牛顿力学原理，使用机理建模法对二级倒立摆系统进行了建模与仿真研究。利用最优化控制理论，研究了线性二次型最优控制器对倒立摆系统进行了有效控制。基于MATLAB程序的设计、仿真的运行，结果表明，二级倒立摆的数学建模法是切实可行的，而且十分可靠，同时利用LQR 控制器实现了对系统的控制，可以达到系统所需要的稳定性，鲁棒性。

关键词：二次型最优控制；二级倒立摆；MATLAB

1 引言

倒立摆系统是一个常用的、简单的、典型的可进行控制理论研究的实验平台，很多难以用常规实验研究的控制理论问题，都可以通过倒立摆系统来进行研究从而使这些抽象的控制理论问题，通过该系统可以直观的鲜明的显示出来。所以倒立摆系统一直是控制领域的热点，并且在这些年来在不断的发展进步对控制理论的研究起到了重要作用。

倒立摆系统是一个典型的不稳定系统，具有多变量、强耦合、非线性等特点。同时也是仿人类行走机器人和火箭发射飞行的过程调整和直升机飞行等实际运用控制对象的最简模型。本文建立在牛顿力学定律的基础上，研究对象设置为二级倒立摆，对其进行数学建模，再使用二次型最优控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一个最优状态反馈的矩阵K，然后在通过对Q和R两个加权矩阵的严谨选取从而实现对二级倒立摆系统良好的自动控制。

2 二级倒立摆模型建立

一个典型的二级倒立摆系统主要由机械部分和电气装置两部分组成。机械装置的结构主要由小车、摆杆1、摆杆2及连接轴等组成，电气装置的主要结构是功率放大器、电动机、驱动电路、保护电路等。其系统的结构如图1所示。

实验假设如下：

(1)小车、摆杆1、摆杆2的材料性质都是刚体的。

(2)小车的驱动力和放大器的输出直接的，无滞后的作用于小车上。

(3)忽略实验中过程中出现的不可避免的各种摩擦力如库伦摩擦力等。

图1 二级倒立摆控制系统的结构

二级倒立摆的参数设定如表1。

表1 二级倒立摆的参数设定

M 小车质量

kg 2l 摆杆2中心到杆心距离

m

1m 摆杆1质量 kg F 作用在系统上的外力 1/-ms N

2m 摆杆2质量 kg g 重力加速度 m/s 2 3m 质量块质量

kg 1l 摆杆1中心到杆心距离

m

通过拉格朗日定律的利用，建立相应的系统模型：

可设小车的总动能为m T ，摆杆1的动能为1m T ，摆杆二的动能为2m T ，质量块的动能为3m T ，可得出系统的总动能为：

321m m m m T T T T T +++= (1) 由（1）可得系统的总动能为：

[]

++-++-+=

0cos cos 2(22

132cos 21212221122211112111212θθθθθθθ l l x x m x l m x l m x m x M T

221m ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++)cos(434421212122222121θθθθθθ l l l l +2321x m －21113cos θθ x l m +112132θ l m (2) 系统的势能为：

V =321m m m V V V ++ (3)

由（2）可得系统的势能为：

=V )cos cos 2(cos 2cos 22112113111θθθθl l g m gl m gl m +++ (4)

拉格朗日算子：

V T L -= (5) 因为在广义坐标上21θθ可忽略外力的作用，那么即可建立以下的模型方程：

2

11M N =θ , 2

22

M N =θ (6) 因为

][

)(cos 9121242212232111θθ-+---=m m m m l M (7)

[])(cos 4)(39

162122

2212222132122θθ-+++-

=l l m l l m m m m M (8) []

2

2

1

2

1

3

1

2

1

1

22

2

1

2

221

21211221221312111cos )cos(3cos 4cos 4cos 2)sin(4)sin()cos(6sin )cos(3sin 4sin 4sin 23θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+----+--+-+---=x m x m x m x m l m l m g m m gm gm N (9)

(10) 根据泰勒公式，在平衡处展开，并利用线性化对方程进行计算可得到以下方程组：

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=x

K K K x

K K K 272231222172131121θθθθθθ (11)

将公式（6）代入（11）可得：

将公式（7）(8) (9) (10)代入（12）可解出：

1

32132112)1234(2)

442(3l m m m gm gm gm K ------=

[]

[]9

/)(3164)(2223212232122l m m m l m m m m g K ++-++=

1321213)1234(29l m m m g

m K ---=

[][]{}

9/)(31643)(3423212232123l m m m l m m m m g K ++-++=

132132117)1234(2)42(3l m m m m m m K ------=

[][][]9

/)(31643

/)(34)(2223212232132127l m m m l m m m m m m m K ++-++-++= (13)

设变量x x =1，12θ=x ，23θ=x ，x x =4，1

5θ =x ，26θ =x ，加速度为x u =，代入BU AX X

+= ,DU CX Y +=可得输出方程： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321x x x

x x x

=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-----0

9635

.250

4458

.14512

.680

10000008603.700514.180555

.39000100000857.002973.16601

.160000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321x x x x x x +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2069.007044.10727.00 (14)

=Y ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3211θθθθx x ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛100000010000001000000100000010000001

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛654321x x x x x x +⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000u (15)

3 LQR 算法

我们运用线性二次型最优控制器(linear quadratic regulator-LQR)对系统进行控制。LQR 是能以控制和状态变量为指标的动态系统最优控制方法,在现代控制理论中有非常重要的意义。

（1）若给定系统的状态方程为BU AX X

+= ,DU CX Y +=。 (16) （2）用r y 表示系统的期望输出。

（3）定义)()()(t y t y t e r -=为系统的向量误差。 则指标函数为：

[]

dt t U t R U t Qe t e t Se t e J t T f f f T )()()()(2

1

)()(210+⎰+=

(17) 在倒立摆系统中I C =,0=r y ，所以)()()(t e t X t Y -==，而且倒立摆的控制是f t 趋向于无穷大