2021版高考文科数学一轮复习第八章 第3讲 平行关系

第3讲平行关系

一、知识梳理

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线

平行，则该直线与此平面平行(简记为“线

线平行⇒线面平行”)

因为l∥a，

aα，l⊆/α，

所以l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线

的任一平面与此平面的交线与该直线平

行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

因为l∥α，

lβ，α∩

β＝b，

所以l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面内的两条相交直线与另一

个平面平行，则这两个平面平行(简

记为“线面平行⇒面面平行”)

因为a∥β，

b∥β，a∩

b＝P，

aα，bα，

所以α∥β

性质定理如果两个平行平面同时和第三个平

面相交，那么它们的交线平行

因为α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b，

所以a∥b

1．三种平行关系的转化：

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

二、教材衍化

1．平面α∥平面β的一个充分条件是()

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，aα，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α

解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊆/α，a⊆/β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.

2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的是(只填序号)．

①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.

解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D，BD，因为AB═∥C1D1，所以四边形AD1C1B 为平行四边形，

故AD1∥BC1，从而①正确；

易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，

又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，

故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面．③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊆/平面BDC1，BC1平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()

(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()

(3)若直线l∥b，直线bα，则l∥α.()

(4)若直线l∥b，直线bα，那么直线l就平行于平面α内的无数条直线．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

二、易错纠偏

常见误区(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；

(2)忽略线面平行、面面平行的条件．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()

A．一条直线不相交B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交

解析：选D.因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.

2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为．

解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形

与线、面平行相关命题的判定(师生共研)

设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是() A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊆/β，则n∥β

【解析】A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或mβ，若mβ，又n∥m，n⊆/β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊆/β，lβ，所以n∥β.

【答案】 D

解决线、面平行关系应注意的问题

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

1．下列命题中正确的是()

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊆/α，则b∥α

解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊆/α，cα，所以b∥α.

2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

解析：选B.对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D选项，选B.

线面平行的判定与性质(多维探究)

角度一线面平行的证明