【步步高】高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I函数的奇偶性与周期性文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性文
1．函数的奇偶性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ×)
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √)
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( √)
(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √)
(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √)
1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)
答案④
解析对于④，f(x)＝e x－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，故y＝e x－e－x为奇函数．
而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y ＝cos x为偶函数．
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
答案0
解析由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)
＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2
|x －m |
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，
b ＝f (log 25)，
c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________．
答案 c ＜a ＜b 解析 由函数f (x )＝2
|x －m |
－1为偶函数，得m ＝0，
所以f (x )＝2|x |
－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．
4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－4x 2
＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (3
2
)＝________.
答案 1
解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－1
2
)，
根据题意得f (－12)＝－4×(－12
)2
＋2＝1.
5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )
解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3
－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)
1－x
1＋x
； (3)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ， x <0，
－x 2
＋x ， x >0.
解 (1)定义域为R ，关于原点对称，
又f (－x )＝(－x )3
－(－x )＝－x 3
＋x ＝－(x 3
－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．
(2)由1－x
1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．
(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2
＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2
－x ＝x 2
－x ＝－(－x 2
＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2
＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2
－x ＝－x 2－x ＝－(x 2
＋x )＝－f (x )．
∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数为奇函数．
思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )
＝x 3
；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln x x
，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定
义域内是奇函数的是________．
(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，
G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)．
答案 (1)① (2)偶函数，奇函数
解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
，x >0，x 2
，x ≤0，
由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，
对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确．
(2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，
由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )，
G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )
＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数． 题型二 函数的周期性
例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2
－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝________.
(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1
f x
，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，
则f (105.5)＝______. 答案 (1)－1 (2)2.5
解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
－2＝－1.
(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－
1f
x ＋2＝－1
－
1
f x
＝f (x )．
故函数的周期为4.
∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.
思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝
1
f x
，则T ＝2a ， ③若f (x ＋a )＝－
1
f x
，则T ＝2a (a >0)．
设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋
sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23π6＝____________.
答案 12
解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，
又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6＝0，
即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 函数奇偶性的应用
例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3
＋x 2
＋1，则f (1)＋g (1)＝________.
(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1
解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3
＋(－1)2
＋1＝1.
(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2
)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2
)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2
－x 2
)＝0，∴a ＝1.
命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合
例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3
a ＋1
，则实数
a 的取值范围为________．
(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11) 解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，
∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，
解得－1<a <4.
(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，
∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，
f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．
由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，
f (x )在R 上是奇函数，
∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在
x ＝0处有意义，则f (0)＝0.
(1)若f (x )＝ln(e 3x
＋1)＋ax 是偶函数，则
a ＝________.
(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2
－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
答案 (1)－3
2
(2)(－5,0)∪(5，＋∞)
解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x
＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e
－3x
＋1)－ax ＝
ln(e 3x
＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x
e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3x
e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e
2ax ＋3x (e 3x
＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－3
2.
(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2
＋4x .
又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x ，x >0，0，x ＝0，
－x 2－4x ，x <0.
①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；
③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2
－4x >x ， 解得－5<x <0.
综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．
2．忽视定义域致误
典例 (1)若函数f (x )＝k －2x
1＋k ·2
x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1，x <0，则满足不等式f (1－x 2
)>f (2x )的x 的取值范围是
________．
易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：
由f (1－x 2
)>f (2x )得1－x 2
>2x ，忽视了1－x 2
>0导致解答失误．
解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －1
2x
＋k
， ∴f (－x )＋f (x ) ＝
k －2x
2x ＋k ＋k ·2x
－1·
1＋k ·2
x
1＋k ·2x 2x
＋k
＝k 2－122x
＋1
1＋k ·2
x
2x
＋k
. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2
＝1， ∴k ＝±1.
(2)画出f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1，x <0的图象，
由图象可知，若f (1－x 2
)>f (2x )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2
>0，
1－x 2
>2x ，
即⎩⎨
⎧
－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，
得x ∈(－1，2－1)．
答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)
温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．
[方法与技巧]
1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．利用函数奇偶性可以解决以下问题
①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
[失误与防范]
1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．
2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x
2；④y ＝log 22－x
2＋x ，既是偶函数
又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①
解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x
－2－x
2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 2
2－x
2＋x 不是偶函数．
2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x
＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4
解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x
－1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5
(3
1)－－＝－4.
3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
，则f (2 019)＝________. 答案 －2
解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，
∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12
＝－2， 即f (2 019)＝－2.
4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1
解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2
＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，
即f (－x )＝ax 2
－(1－a 2
)x －a ＝ax 2
＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.
当a ＝1时，f (x )＝x 2
－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2
＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.
5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
＋2x ，若f (2－a 2
)>f (a )，则实
数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)
解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2
＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－
a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，
解得－2<a <1.
6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1
解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，
即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.
7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________． 答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)
解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；
③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x
－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝________.
答案
2
解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20
－1＝ 2.
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2
＋mx ， 所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
所以1<a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]．
10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2
.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，
∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2
＝－x 2
＋6x －8. 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2
＋6x －8， 即f (x )＝x 2
－6x ＋8，x ∈[2,4]．
(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．
答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，53
解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．
∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为
f (m －2)>－f (2m －3)，
∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数， ∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧
－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.
∴1<m <53
.
12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2
x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．
答案 －10
解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，
即3a ＋2b ＝－2.①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2
，
即b ＝－2a .②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.
13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3
－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________． 答案 7
解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3
－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.
14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当
x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有
①2是函数f (x )的周期；
②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①②
解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，
因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x
是增函数，
根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；
由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20
＝1，且f (x )是周期为2的周期函数．∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误． 15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋
f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．
证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝1
2
f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．
(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.
∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。