c2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法

4 j 5
p2 e j , p4 e
7 j 5
6 j 5
归一化传输函数为
Ga ( p)
1
(p p )
k 0 k
4
24
上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一
起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1 ；由 N=5 ，直接 查表得到：
极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878; -1.0000
or c s (100.1as 1)

1 2N
(4) Ga(p)去归一化:
将p=s/Ωc, pk=sk/Ωc代入Ga(p)，得到实际的传输函数Ha(s)
22
例5.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，
阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。
数字低通滤波器的技术要求
5
通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的
最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别 定义为：
a p 20 lg as 20 lg
H (e j 0 ) H (e
j p
)
dB
(5.1.3)
H (e j 0 ) H (e
js
)
dB
p lg s
10a p/10 1 N lg as /10 10 1
p lg s
(5.2.18) N 可能有 小数部 分 ，应 取大于等于N的最小整数
20
求参数 Ωc:
3dB截止频率Ωc可由通带指标/阻带指标分别得到: 通带指标
求参数N:
通带指标: 1 (
p c )2 N 10
a p/10
(
p s
)N
阻带指标: 1 ( s )2 N 10as/10 c
10 1 10as/10 1
a p /10
10a p/10 1 N lg as /10 10 1
Specifications
Desired IIR
Butterworth, Chebyshev, elliptic, Bessel, etc.
脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
7
5.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭 圆 (Elliptic) 滤波器、贝塞尔 (Bessel) 滤波器等，这些滤 波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计 人员使用。
8
H a (jΩ)
H a (jΩ)
低通 0 Ω H a (jΩ) 0
高通 Ω H a (jΩ)
带通 c Ω 0
带阻 Ω
图5.2.1 各种理想模拟滤波器的幅频特性
9
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有ap, Ωp,as和Ωs。 Ωp：通带截止频率 ap：通带最大衰减系数
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
p lg s
(2) 根据N求出归一化极点pk，以及归一化传输函数Ga(p):
pk e
(3) 求Ωc:
Ga ( p)
1
(p p )
k 0 k
N 1
c p (10
0.1a p
1)

1 2N
(5.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：
a p 20 lg H (e
j p
) dB
(5.1.5)
as 20 lg H (e js ) dB
(5.1.6)
6
3. 数字滤波器设计方法概述
回想控制器设计问题
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同，IIR滤波 器设计需要借助于模拟滤波器来完成
1 H a ( p) 5 p a4 p 4 a3 p3 a2 p 2 a1 p a0
其中，a0=1.0000, a1=3.2361, a2=5.2361, a3=5.2361, a4=3.2361
25
(3) 求3dB截止频率Ωc
按照(5.2.19)式，得到：
c p (10
解： (1) 确定阶数N
10 1 0.0242 0.1as 10 1 2 f s 2.4 2 f p lg 0.0242 N 4.25 5 lg 2.4
23
0.1a p
(2) 其极点为
p0 e
3 j 5
,
p1 e p3 e

2π
π
0
π
2π

理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性
4
2.数字滤波器的技术指标
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤 波器的传输函数H(ejω)用下式表示：
H (e j ) H (e j ) e j ( )
通带纹波幅度
阻带纹波幅度 通带截止频率 3dB通带截止频率 阻带截止频率
2
(5.2.3)
as 10 lg H a ( j s )
2
(5.2.4)
10
技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函
数满足给定的指标ap和as。
一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j ) H a ( s ) H a ( s )
2
s j
H a ( j ) H a ( j )
(5.2.10)
例：设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s3 c e
2 j 3
s1 c s4 c
s2 c e
2 j 3 1 j 3
1 j 3
s5 c e
取s平面左半平面的极点s0, s1, s2组成Ha(s)：
H a ( s) 3 c ( s c )( s
(5.2.6)
两个参数：N, Ωc
12
将|Ha(jΩ)|2写成s的函数： H a ( s ) H a ( s )
1 s 2N 1 ( ) j c
(5.2.7)
N阶Butterworth滤波器，|Ha(jΩ)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为：
sk (1) c e
(5.2.5)
注意： 1. 从数学上讲，有无限多种Ha(s)能满足指标 2. 实际中，针对结构给定的Ha(s) （如：Butterworth, Chebyshev, Elliptic等），选取合适的参数
11
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
幅度平方函数： H a ( j)
2
1 1 ( )2 N c
令归一化复变量p=s/Ωc，pk=sk/Ωc，得到归一化巴特沃斯的传 输函数
H a ( p)
1
(p p )
k 0 k
N 1
(5.2.12)
15
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
1 2 k 1 j ( ) sk 2 2N pk e , k 0,1, , N 1 c
a p 10lg H a ( j)
2 2
Ωs：阻带截止频率 as：阻带最小衰减系数
H a ( j p )
(5.2.1)
as 10 lg
H a ( j )
2 2
H a ( j s )
(5.2.2)
将Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(0)|=1,得到
a p 10lg H a ( j p )
r b z r M
H ( z)
1 ak z k
k 1
r 0 N
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
3
低通
H (e j )
2π
π
高通
0
π H (e j )
2π

2π
π
带通
0
π H (e j )

2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
0.1a p
1)

1 2N
2 5.2755krad / s
(4) Ga(p)去归一化，将p=s/Ωc, pk=sk/Ωc代入Ha(p)中得到：
H a ( s) 5 c 5 2 3 2 4 5 s a4c s 4 a3c s a23 s a s a c 1 c 0 c
c p (10
0.1a p
1)

1 2N
(5.2.19)
阻带指标
c s (100.1as 1)

1 2N
(5.2.20)
21
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：
(1) 根据技术指标Ωp, ap, Ωs和as，求滤波器的阶数N:
10a p/10 1 N lg as /10 10 1
(5.2.13)
归一化后Ga(p)的N个极点 均匀分布在左半单位圆上
将极点表示式 (5.2.13) 代入 (5.2.12) 式，得到的 Ga(p) 的分母是 p 的N阶多项式，用下式表示：
1 Ga ( p) N p bN 1 p N 1
b1 p b0
(5.2.15)
16
表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
4
6 8 Frequency(kHz)
10
12
14
28
3.切比雪夫低通滤波器的设计方法
Motivation： •Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减 •若通带（阻带）边界处满足指标，则通带（阻带）内会有较大 余量 •更有效的方法——在通带（或阻带、两者）之内等波纹 (equiripple)，可降低滤波器阶数
1 2N
( j c )
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
(5.2.8)
|Ha(jΩ)|2的2N个 极点均匀分布在 半径为Ωc的圆上 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 13
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，
N c H a ( s) (s sk ) LHP
26
Matlab实现
常用函数：buttap, buttord, butter
%Butterworth_Low wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Ap=2;As=30; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-40,5]);
优点：
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配， 可实现特殊滤波功能
2
1.数字滤波器的分类
(1)总体分类： 经典滤波器，信号与干扰分占不同频带： ——选频滤波器 现代滤波器，信号与干扰频带重叠： ——维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等 (2)滤波特性： ——低通、高通、带通、带阻等 (3)网络结构： ——IIR、FIR
•Chebyshev和Elliptic滤波器都是根据此原则设计的
27
10
0
5 0
Magnitude
10
-1
-5 -10
10
10
3
10 Frequency (rad/s)
4
Magnitude(dB)
-2
-15 -20 -25 -30 -35
200
Phase (degrees)
100 0 -100 -200
10
3
10 Frequency (rad/s)
4
-40
0
2
2 j 3 c 2 j 3 c
)( s
பைடு நூலகம்
)
14
归一化：
——由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，需要将所 有的频率归一化
——这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示
为
1 H a ( s ) N 1 s sk ( ) c k 0 c
(5.2.11)
第5章 数字滤波器的设计
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2 模拟滤波器的设计
5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
1
5.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：
是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信 号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。