回归模型的函数形式

• 弹性？
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柯布—道格拉斯生产函数
Yi AX i K i i
变换，得如下参数线性模型

X= 劳动力投入量 K=资本投入量 Y=产出量
ln Yi 0 ln X i ln K i ui
βi …称为偏弹性系数

含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。
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X
Y对X的边际增量递减
19 X
模型的选择
• • • • • DATA4-1:1990年圣地亚哥大学城独栋房屋的数据 price:售价（千美元） sqft:居住面积（平方英尺） bedrms:卧室数 baths:浴室数
price 1 2 ln( sqft ) 3 ln( bedrms ) 4 ln( baths) ui
price 1 2 ln( sqft ) 3 ln( bedrms ) ui price 1 2 ln( sqft ) 3bedrms ui
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多源自文库式回归模型
Polynomial regression models
Yi 1 2 X i 3 X k X ui
增长率=？
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线性对数（lin-log）模型
Yi 1 2 ln X i ui
dY dY 2 d (ln X ) dX / X
• β2 的含义： X的一个单位相对变化，引起Y的平均绝对增量 即：X增加1%时，Y改变β2 /100
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劳动力供给函数
劳动力供给模型： • hours=33+45.1 log(wage) • wage：每小时工资 • hours：每周工作的小时数 工资每增加1%将使每周工作的小时数增加：
回归模型的函数形式
多元回归模型的应用

线性模型
y

非线性模型
• 实际经济活动中 的许多问题，都 可以最终化为线 性问题。 • 线性回归模型具 有普遍意义。
x
2
“线性”回归的含义
方程中的参数是线性的
变量和参数均为线性:
Y 1 2 X 2 3 X 3 4 X 4 u
• 多受一年教育将使每小时工资增加多少？ • 9.4%
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ln Yi 1 2 t ui — 恒定的增长模型
对数线性（log-lin)模型
测度增长率：人口、GDP、贸易…… • 线性模型与对数线性模型的区别 1）线性模型 Yi= β1 + β2 Xi+ ui • β2 的含义：X增加一个单位，Y的平均增量 • 表示因变量的绝对增量。 2）对数线性模型 • β2 的含义：因变量的相对增量。 • 增长率或衰减率
2 k
• 在生产成本函数领域应用广泛
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Yi 1 2 X i 3 X k X ui
2 k
unit cos t • DATA6-1:一家公司20年 的成本函数数据。 • unitcost :单位成本（美元） • output :产量 • inpcost :投入成本
dY 2 2 3 X dX 2 unit cos t 1 2output 3output
output
4 inp cos t k inp cos t 2 ui
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模型的选择
unit cos t 1 2output 3output
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• 对于线性模型Yi = β1 + β2Xi+ i
• Y对X的弹性可以表示为 dY X X 2
dX Y Y
两种模型的区别： • 线性模型给出点弹性。 • 双对数模型给出常数弹性。
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• 一需求函数：
ln Yi 3.96 0.23 ln X i
Se=(0.0416) (0.0250) t= (95.233) (-9.088) R2=0.911
例：使用1955 ～ 1974年墨西哥的数据得到 这一期间墨西哥的生产函数。
• Y：产出（GDP） • X1：劳动投入（总就业人数） • X2：资本投入（固定资本） 回归结果：lnY=-1.6524+0.3397lnx1+0.8640lnx2 se=(0.6062) (0.1857) (0.0934) t= (-2.73) (1.83) (9.06) p值=(0.014) (0.085) (0) r2=0.995 规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。 • 规模报酬不变 • 规模报酬递增 • 规模报酬递减
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二、半对数模型
ln Yi 1 2 X ui
对数到线性（log-lin)模型回归系数 β2 的含义：
d (ln Y ) dY / Y 2 dX dX
• β2 ：X增加一单位时，Y的相对变化
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对数工资方程
• 每小时工资与受教育年数的关系：
log( wage ) 2.78 0.094 educ
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ln Yi 1 2 t ui
例：使用1972 ～ 1991年美国实际GDP数据。 试确定这一期间实际GDP的增长率。 回归模型：lnGDP=8.0139+0.0247t se=(0.0114)(0.00956) t=(700.54)(25.8643) p值=(0.0000)(0.0000) R2=0.9738
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（一）平均固定成本与产出水平
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（二）菲利普斯曲线
• 自然失业率 • 失业率再增长，工资下降率渐近底限
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（三）恩格尔支出曲线
• 收入上的门槛水平 • 消费上的满足水平
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其中
(2)
5
1 ln , ui ln i
ln Yi 1 2 ln X i ui
经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 双对数模型的参数估计
使用最小二乘法得到 β1 、β2的估计值 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。
6
ln Yi 1 2 ln X i ui
• 0.45小时
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线性对数(lin-log)模型
Yi 1 2 ln X i ui
例：使用1973 ～ 1987年美国的GNP(Y）与货币供
给M2(X）的数据。 试求当货币供给增加1%时，GNP的绝对增加值。 回归模型：Y=-16329.0+2584.8lnX t=(-23.494) (27.549) p值=(0.0000) (0.0000) R2=0.9832 回归系数的含义？
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常用的可线性化回归模型
通过适当变量代换可变为参数线性的模型
• 双对数模型 • 半对数模型 • 多项式模型 • 倒数模型
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一、双对数模型
需求量模型： X=书的价格 Y=书的需求量 随机误差项 建立模型如下：
Yi X i 2 i
(1)
对（1）式取对数得到
ln Yi 1 2 ln X i ui
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线性对数关系的选择
ln Yi 1 2 X ui Yi 1 2 ln X i ui
dY 2 dX X
Y
• DATA4-1:1990年圣地亚哥 大学城独栋房屋的数据 Y • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
β2的含义 对于一般的模型 Y=f(X) 根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为
Y / Y Y X dY X E X / X X Y dX Y
d (ln Y ) dY X 2 d (ln X ) dX Y • 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。 • 双对数模型的重要假定：弹性是常数
2
4 inp cos t k inp cos t 2 ui
unit cos t 1 2output 3output 4 inp cos t ui
2
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倒数模型
reciprocal models
1 Yi 1 2 u X i i
Y 1 2 X 3 X 3 4 log X 4 u
2 2
参数线性，变量非线性:
Z 2 X , Z 3 X 3 , Z 4 log X 4 Y 1 2 Z 2 3 Z 3 4 Z4 u
2 2
参数非线性:
Y 1 2 X 2 3 X 3 2 3 X 4 u