第22讲不变子空间,特征值和特征向量

第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质

定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有

σ(α+β) = σ(α)+σ(β),

σ(kα) = kσ(α),

则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象.

我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合.

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定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,⋯,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn ) 所完全确定.

11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn n

a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩

记σ(α1, α2,⋯, αn ) = (σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn )), A = (a ij )n ⨯n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,⋯, αn ) = (α1, α2,⋯, αn )A .

n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,⋯, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.

定理设线性变换σ在基α

, α2,⋯, αn下的矩阵是A, 即

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σ(α) = (α1, α2,⋯, αn)A,

设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是

X = (x1, x2,⋯, x n)T , Y = (y1, y2,⋯, y n)T, 则Y = AX.

定理设α

, α2,⋯, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意

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, β2,⋯, βn, 都存在线性变换σ, 使得

给定的n 个向量β

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σ(αi)= βi(i= 1, 2,⋯, n).

, α2,⋯, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α

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任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足

σ(α1, α2,⋯, αn) = (α1, α2,⋯, αn)A

推论σ∈L(V) 是双射⇔σ对应的矩阵可逆.

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定义设σ, τ∈L(V),:,; :,V V V V τ→αβσ→βγ 定义σ和τ的复合映射为:,.

V V στ→αγ 定理线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1)线性变换乘法一般不满足交换律.

(2)非零线性变换的乘积可以是零变换.

(3)线性变换的乘法一般不满足消去律

.

二、线性变换的值域、核

定义设σ是V 的线性变换, V中向量在σ的作用下全体

象的集合称为σ的值域, 记为Imσ= σV = {σα|α∈V}.

定理Imσ是V 的子空间.

dim Imσ称为线性变换σ的秩.

,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，A 是σ在这组基下的矩阵设ε

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(1) Imσ=L(σε1,…,σεn), (2) dimImσ=r(A)

定义设σ是V 的线性变换,所有被σ映成零向量的向量的集合称为σ的核, 记为kerσ.

定理kerσ是V 的子空间。dim kerσ称为σ的零度.

dim Imσ+ dim kerσ= dim V

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注1 σ是单射⇔ker σ= {0} ⇔dimker σ= 0

⇔dimIm σ= dimV ⇔Im σ=V

⇔σ是满射⇔σ是双射.

1Im [],dim Im dim ker ,n F X n σσσ-=+=例在F n [X] 上定义微分运算如下：

()[],()(),ker ,n f X F X f X f X F σσ'∀∈==dim(Im ker ) 1.n σσ+=-注2因为dim dim ker dim Im V σσ

=+dim(Im ker )dim(Im ker )

σσσσ=++⋂Im ker dim(Im ker )dim V V

σσσσ∴=+⇔+=dim(Im ker )0

σσ⇔⋂=Im ker {}

σσ⇔⋂=0ker I m V σσ

⇔=⊕

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幂等变换：σ2= σ

例设n 维线性空间V 的线性变换σ是幂等变换，则σ在V

的某组基下的矩阵为.0r I ⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

定义设σ是V 上的线性变换, W 是V 的子空间, 如果对W 中任一向量α, 有σα属于W, 则称W 为σ的不变子空间.{0}, V , Im σ和ker σ均为σ不变子空间.

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习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证

(1)σ在某组基α1,α2,…,αn

下的矩阵是.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011010 (2)若V 0 是σ的一个不变子空间，且a 1α1+a 2α2+…+a k αk ∈V 0，1 ≤ k ≤ n, a k ≠ 0，则α1,α2,…,αk ∈V 0。

(3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),…,L(α1,α2,…,αn-1),V 是(V 中全部)σ的不变子空间。

10习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证

(1)σ在某组基α1,α2,…,αn

下的矩阵是证明要点：

(1) σn-1 ≠ 0, 存在V 中的非零元α, 使得σn-1α≠ 0

设k 1α+ k 2σα+…+ k n-1σn-2α+ k n σn-1α= 0，依次以σn-1,…,σ作用于( k 1α+ …+ k n σn-1α)，可得k 1= 0,…,k n = 0，可知α,σα,…, σn-1α线性无关，即为所求α1,α2,…,αn .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011010