第22讲不变子空间,特征值和特征向量

第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质
定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有
σ(α+β) = σ(α)+σ(β),
σ(kα) = kσ(α),
则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象.
我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合.
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定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,⋯,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn ) 所完全确定.
11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn n
a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩
记σ(α1, α2,⋯, αn ) = (σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn )), A = (a ij )n ⨯n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,⋯, αn ) = (α1, α2,⋯, αn )A .
n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,⋯, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.
定理设线性变换σ在基α
, α2,⋯, αn下的矩阵是A, 即
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σ(α) = (α1, α2,⋯, αn)A,
设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是
X = (x1, x2,⋯, x n)T , Y = (y1, y2,⋯, y n)T, 则Y = AX.
定理设α
, α2,⋯, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意
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, β2,⋯, βn, 都存在线性变换σ, 使得
给定的n 个向量β
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σ(αi)= βi(i= 1, 2,⋯, n).
, α2,⋯, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α
1
任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足
σ(α1, α2,⋯, αn) = (α1, α2,⋯, αn)A
推论σ∈L(V) 是双射⇔σ对应的矩阵可逆.
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定义设σ, τ∈L(V),:,; :,V V V V τ→αβσ→βγ 定义σ和τ的复合映射为:,.
V V στ→αγ 定理线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1)线性变换乘法一般不满足交换律.
(2)非零线性变换的乘积可以是零变换.
(3)线性变换的乘法一般不满足消去律
.
二、线性变换的值域、核
定义设σ是V 的线性变换, V中向量在σ的作用下全体
象的集合称为σ的值域, 记为Imσ= σV = {σα|α∈V}.
定理Imσ是V 的子空间.
dim Imσ称为线性变换σ的秩.
,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，A 是σ在这组基下的矩阵设ε
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(1) Imσ=L(σε1,…,σεn), (2) dimImσ=r(A)
定义设σ是V 的线性变换,所有被σ映成零向量的向量的集合称为σ的核, 记为kerσ.
定理kerσ是V 的子空间。

dim kerσ称为σ的零度.
dim Imσ+ dim kerσ= dim V
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注1 σ是单射⇔ker σ= {0} ⇔dimker σ= 0
⇔dimIm σ= dimV ⇔Im σ=V
⇔σ是满射⇔σ是双射.
1Im [],dim Im dim ker ,n F X n σσσ-=+=例在F n [X] 上定义微分运算如下：
()[],()(),ker ,n f X F X f X f X F σσ'∀∈==dim(Im ker ) 1.n σσ+=-注2因为dim dim ker dim Im V σσ
=+dim(Im ker )dim(Im ker )
σσσσ=++⋂Im ker dim(Im ker )dim V V
σσσσ∴=+⇔+=dim(Im ker )0
σσ⇔⋂=Im ker {}
σσ⇔⋂=0ker I m V σσ
⇔=⊕
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幂等变换：σ2= σ
例设n 维线性空间V 的线性变换σ是幂等变换，则σ在V
的某组基下的矩阵为.0r I ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
定义设σ是V 上的线性变换, W 是V 的子空间, 如果对W 中任一向量α, 有σα属于W, 则称W 为σ的不变子空间.{0}, V , Im σ和ker σ均为σ不变子空间.
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习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证
(1)σ在某组基α1,α2,…,αn
下的矩阵是.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011010 (2)若V 0 是σ的一个不变子空间，且a 1α1+a 2α2+…+a k αk ∈V 0，1 ≤ k ≤ n, a k ≠ 0，则α1,α2,…,αk ∈V 0。

(3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),…,L(α1,α2,…,αn-1),V 是(V 中全部)σ的不变子空间。

10习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证
(1)σ在某组基α1,α2,…,αn
下的矩阵是证明要点：
(1) σn-1 ≠ 0, 存在V 中的非零元α, 使得σn-1α≠ 0
设k 1α+ k 2σα+…+ k n-1σn-2α+ k n σn-1α= 0，依次以σn-1,…,σ作用于( k 1α+ …+ k n σn-1α)，可得k 1= 0,…,k n = 0，可知α,σα,…, σn-1α线性无关，即为所求α1,α2,…,αn .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011010
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习题. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0, 证
(2)若V 0 是σ的一个不变子空间，且a 1α1+a 2α2+…+a k αk ∈V 0，1 ≤ k ≤ n, a k ≠ 0，则α1,α2,…,αk ∈V 0。

(3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),…,L(α1,α2,…,αn-1),V 是V 中全部σ的不变子空间。

证明要点：(2) 由于V 0 是σ的一个不变子空间，σ(αk )=αk-1、可得σ(a 1α1+a 2α2+…+a k αk )=a 2α1+a 2α2+…+a k αk-1∈V 0
σ(a 2α1+a 2α2+…+a k-1αk )=a 3α1+a 2α2+…+a k αk-2∈V 0
… 即α1∈V 0，上述过程逐步逆推，可得α1,α2,…,αk ∈V 0
(3) σn-1值域的秩是1，使得σn-1α≠ 0 的α 只差一个倍数，令α1=α，任一σ的不变子空间均为L(α1,α2,…,αk ), 的形式。

三、线性变换的特征值与特征向量
定义设σ∈L(V), 若存在数λ及非零向量ξ, 使得
σξ= λξ, (1)
则称λ是σ的特征值, ξ是σ的属于特征值λ的特征向量.
例如V 中任意非零向量均为L(V)中的数乘变换的特征向量. 平面上的镜面反射的特征值为1和-1, 对称轴上的非零向量均为镜面反射属于特征值1的特征向量,而与对称轴垂直的所有
非零向量均为镜面反射属于特征值-1的特征向量. 平面上的
旋转变换只有旋转角度为2kπ或(2k+1)π时(此时,旋转变换为
乘1或-1的数乘变换) 有实特征值和实特征向量.
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特征向量的性质:
1.设ξ是σ属于特征值λ的特征向量, 即σξ= λξ, 又设k∈F, 则σ(kξ) = kσξ= kλξ= λkξ, 若k ≠0, 则kξ是σ属于特征值λ的特征向量.
2.设ξ1, ξ2 是σ属于特征值λ的特征向量, 即σξ1= λξ1, σξ2= λξ2, 则σ(ξ1+ξ2) = σξ1+σξ2= λξ1+λξ2= λ(ξ1+ξ2), +ξ2 ≠0, 则它为σ属于特征值λ的特征向量.
若ξ
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由这两条性质, σ属于特征值λ的特征向量的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量, 加上零向量就构成V 的一个子空间.
定义设σ∈L(V), λ是σ的一个特征值, 则称
Vλ= {ξ∈V|σξ= λξ} 为σ的属于特征值λ的特征子空间,其维数称为特征值λ的几何重数.
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例设W 是σ的一维不变子空间, 则
0,,,
W W F ασαλ∀≠∈∈∴∃∈ 使得,σαλα=所以α是σ属于λ的特征向量.
反之设α是σ属于λ的特征向量, 设β∈L(α), 则存在k ∈F,使得β= k α, 故σ(β) = k σ(α) = k λα∈L(α), 所以L(α) 为σ不变子空间.
σ属于特征值λ的特征子空间是若干个一维不变子空间的直和.
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1(), ,,n L V σεε∈ 是V 的一组基, A 是σ在这组基
设下的矩阵, 即11(,,)(,,),
n n A σεεεε= 设λ是σ的特征值, ξ是σ的属于特征值λ的特征向量,则σξ= λξ, 设ξ在1,,n εε 下的坐标为X, 则
111(,,)(,,)(,,)n n n AX X X
εεσεελεε== 1(,,),
n X εελ= 1,,n εε 是V 的一组基, 所以AX = λX.定义设A 是n 阶方阵, 若存在数λ及非零向量X, 使得
AX = λX, (1)则称λ是A 的特征值, X 是A 的属于特征值λ的特征向量.
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对于特征值2得到齐次线性方程组:12122020
x x x x +=⎧⎨--=⎩解得属于2的特征向量是,1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡k x x k 是任意非零常数.对于特征值3可得到齐次线性方程组:12122200
x x x x +=⎧⎨--=⎩解得属于3的特征向量是121,1x k x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
k 是任意非零常数.
根据以上讨论, 求给定方阵A 的特征值与特征向量的步骤如下:
(1)计算A 的特征多项式f A(λ)
(2)求出特征多项式f A(λ) 的所有根, 它们就是A 的全部
特征值.
(3)分别把的每个特征值λ代入方程组(λI-A)X = 0, 并求出它的基础解系, 则基础解系的所有非零线性组合就是
A 的属于λ的全部特征向量.
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第二十二讲作业
习题六
18, 19(3)，20(3,7,9)
21。