高三数学三角函数复习-教(学)案

三角函数

一．教学目标

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数

（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2

π

±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

二．教学容

1．任意角的概念

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、象限角、轴线角 3．弧度制

角α的弧度数的绝对值是：r l

=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。角度制与弧度制的换

算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180° 1°＝180

π（rad ）

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2

1

21r r l S α==

。 【注意】：

①无论用“弧度”还是“角度”作单位，角的大小是一个与半径的大小无关的定值；②在解题过程中

“弧度”与“角度”不能混用，如0

=230,k k Z απ+∈或0

=90,4

k k Z π

β⋅+

∈都不规。

4．三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）

y

x

叫做α的正切,记做tan α,即

tan (0)y

x x

α=

≠。 【注意】：三角函数值的符号满足：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的规律。

5．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。 【注意】：

①正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负； ②余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负。

③当角终边在x 轴上时，正切线变成一个点，当角终边在y 轴上时，正切线不存在。

6．同角三角函数关系式

（1）平方关系：2

2

sin cos 1αα+= （2）倒数关系：tan αcot α=1, （3）商数关系：sin tan cos α

αα

= 【注意】：

② 同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立。 ②同角三角函数的基本关系式必须在定义域允许的围成立。

7．诱导公式

总口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。其中“奇、偶”是指()2

k k Z π

α⋅

+∈中的k 的奇偶性；

“符号”是把任意角α当成锐角时，原函数值的符号。 【注意】：

①应用诱导公式，重点是“函数名称”和“正负号”的正确判断。

②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负化正、大化小、小化锐、锐求值。

三．典例解析

『题型』1：象限角

例1．已知角︒=45α；

（1）在区间]0,720[︒︒-找出所有与角α有相同终边的角β；

（2）集合00

|18045,2

k M x x k Z ⎧

⎫==⨯+∈⎨⎬⎩

⎭，00

|18045,4

k N x x k Z ⎧⎫==⨯+∈⎨⎬⎩

⎭

那么两集合的关系是什么？ 解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k 解得 360

45

360765-≤≤-

k 从而2-=k 或1-=k 代回︒-=675β或︒-=315β

（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而

集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M

N 。

『题型』2：三角函数定义

例2．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

『题型』3：诱导公式

例3．()2

tan cot cos x x x +=( )

（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x

解：∵()222

2

2sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=

⋅ ⎪⎝⎭

cos cot sin x

x x

=

= 故选D ；

例4．化简：

(1)

sin(180)sin()tan(360)

tan(180)cos()cos(180)

αααααα-++--+++-+-；

（2）

sin()sin()

()sin()cos()

n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。

解析：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2

sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα

++-=

=+-。

②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2

sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα

+++-+=

=-++-+。

『题型』4：同角三角函数的基本关系式

例5．证明：111sin (1tan )cos (1)tan sin cos θθθθθθ

+++

=+；