第五章 相似矩阵

第五章 相似矩阵

1．教学目的和要求：

(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点：

(1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化.

3．教学难点：矩阵的相似对角化.

4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩

阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使

X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征

向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形.

5．教学内容：

§5.1 方阵的特征值与特征向量

1. 特征值与特征向量的概念

在一些应用问题中常会用到一系列的运算:

.,,,,2 X A X A AX k

为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量.

定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值,

称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．

下面给出特征值与特征向量的求法：

特征方程： 0)(=-⇔=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ

0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-⇔E A λ

0)(det =-⇔A E λ

特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ

特征多项式：

λλλλλϕ---=

-=nn n n n n a a a a a a a a a E A

2

1

22221112

11)(det )(

])1([01110n

n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？

定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21

则 (1)

nn

n a a a +++=++ 221121λλλ

)

(1A tr a n

i ii ==∑=

称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A

n n

i i

==∏=λλλλ

211

例1 求

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.

2. 特征向量的性质

方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。

定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。

定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征

向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤

由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。

例4 求

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 的特征值与特征向量． 解

2)1)(5(122

2122

2

1)(+-=---=

λλλλλ

λϕ

0)(=λϕ⇒1,5321-===λλλ

求51=λ的特征向量：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-4222422245E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000110101行

, ⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=1111p )0(111≠=k p k x

求132-==λλ的特征向量：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--222222222)1(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000000111行

, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112p , ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1013p 3322p k p k x += （32,k k 不同时为0）

例5 设33⨯A 的特征值为3,2,1321-===λλλ, 求 )3(det 3

E A A +-． 解 设13)(3+-=t t t f , 则

E A A A f +-=3)(3

的特征值为 17)(,3)(,1)(321-==-=λλλf f f 故 51)17(3)1()3(det 3

=-⋅⋅-=+-E A A

思考题：设4阶方阵A 满足条件：,0det ,2,0)3det(<==+A E AA A E T

求*A 的一个特征值。

(答案：34

)

作业：习题册第五章第一节。

§5.2 矩阵相似对角化

1．相似矩阵：对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵P 使得B AP P =-1, 称A 相似于B , 记作B A ~．

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质： (1) A A ~： A AE E =-1

(2) A B B A ~~⇒： A P B P =---)()(1

11 (3) C A C B B A ~~,~⇒

若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?

定理1: 设n 阶方阵A 和B 相似，则有 (1),)()(B r A r = (2)，B A =

A )3(和

B 的特征多项式相同，即,B I A I -=-λλ 从而A 和B 的特征值相同。

证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为,~B A 故存在可逆矩阵P

使,1

B AP P =-于是

.

)(111A I P A I P P A I P AP P I B I -=-=-=-=----λλλλλ

显然，若方阵A 与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为A 的特征值。

例1：设矩阵

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=12422421x A 与⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=A 45y ，求.,y x 解：利用A =A 得到方程,0843=+-y x

再利用)()(A =tr A tr ，得到.12+=+y x

有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若1-=PBP A ，

则

.1-=P PB A k k 2．矩阵相似对角形

若方阵A 能够与一个对角矩阵相似, 称A 可对角化．

定理2 n 阶方阵A 可对角化A ⇔有n 个线性无关的特征向量． 证 必要性．设可逆矩阵P 使得

Λ

λλd e f

11

=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-n AP P

即ΛP AP =．划分[]n p p P 1=, 则有 [][]Λn n p p p p A 11=

[][]n n n p p p A p A λλ 111=⇒ ),,2,1(n i p p A i i i ==⇒λ

因为P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组n p p ,,1 线性无关．