归纳推理和类比推理课件.ppt

不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他 们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，
或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归
纳推理（简称归纳）部. 分
整体
个别
一般
归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法.
不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.
200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
………
………
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem).“任何 充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个 结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。
n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
归纳: f (n) 2n 1
解法2、构造法
取倒数得： 1 1 1
an1
an
例2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两 条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将 圆分割成7部分.那么
(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段? 同时将圆分割成 11 部分?
的变化规律,试猜测第n个图形中有 n2 n 1个点.
(1) (2) (3)
(4)
(5)
Biblioteka Baidu
(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅
有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若
用n>f4(时n)表,f(n示)=这n条12直(n线 2交)(点n 的1.()个用数n表,则示f()4)=
数论中最著名的世界难题之一
费马猜想
1637年，法国数学家费马提出： “将一个立 方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个 四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分 为两个同次的幂的和，这是不可能的.”
300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家， 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解， 德国也于1908年悬赏十万马克征解。
例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=3时, f (3) 3 13
f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2)
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1

an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=1,2,3,4代入 an1

an 1 an
得:
1
1
1
1
a2 2 , a3 3 , a4 4 , a5 5
归纳:
an

1 n
可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.
f
(n)

1, 2 f
(n

1)

1,
n1 n2
例、数列{an}满足a1=1， an+1 =2an+1 ，求 通项公式an . 构造法
an+1 +1=2（an+1） 数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列
an 1 2n
an 2n 1
练习
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大 学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.
世界近代三大数学难题之一
四色猜想
1852年，弗南西斯·格思里搞地图着色工作时， 发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可 以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上 不同的颜色。”
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利 诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200 个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的 证明。
归纳推理
世界近代三大数学难题之一
哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小
于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除
的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想
(a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇 质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇 质数之和。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验 算，哥德巴赫猜想(a)都成立。
(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分
割成
n 2 条线段?同时将圆分割成
1 2
(n2

n

2)
部分?
f (2) f (1) 2 f (3) f (2) 3 f (4) f (3) 4
………
f (n) f (n 1) n
累加得: f (n) f (1) 2 3 4 n
f (3) f (2) 2
5 ,当
f (4) f (3) 3
f (5) f (4) 4
f (n) f (n 1) n 1 累加得: f (n) f (2) 2 3 4 (n 1)
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为：