化工系统工程 第五章联立方程法

2019/1/19
第五章 联立方程法
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4 初值的选取及变量物理意义的 限制
迭代开始初值难给的原因有：1）变量维数大；2）迭代 收敛稳定性对初值要求苛刻。 一般采用自动产生初值的算法：其一是利用严格模型在 基点附近产生一组简化模型，然后用序贯模块法计算一 套初值；其二是通过线性化产生一组近似线性模型，然 后通过联立求解线性方程组得到初值。此外，也可以直 接用严格模型按序贯模块法直接送代数次取得初值后， 再转入用求解联立方程组的办法来解决初值选取的困难。 为了避免变量在迭代过程中失去物理意义或超出函数计 算定义域引起的计算失败， 增补必需等式约束或不等式约束对变量取值加以适当的 限制——约束方程。
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6 非线性方程组迭代解法
线性化的方法 n维非线性方程组F(X)＝0，将F(X)作一阶展开可得到 Newton型的迭代公式
i 1 XN X i J i
F X
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
非线性方程化为F(X)≈AX+B＝0，则XL=-A-1B，令J(i)=A(i)， 则
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第五章 联立方程法
序贯模块法是将系统所有方程分解成小方程组求 解，问题迭代嵌套层数多。 联立方程法的基本思想是将描述过程系统的所有 方程全部联立起来，数学上为庞大的非线性方程 组，其变量包含所有的内部变量和外部变量。稳 态模拟的求解就可视为一个原则上与过程系统结 构无关，甚至与化工背景无关的纯数学问题。只 要解决这样的大型非线性方程组求解算法，便能 进行过程系统的稳态模拟。
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5 过程系统非线性方程组的降阶
建立独立的物性估算模块 取消连接流方程——减少流股变量 方程组的分隔 不可再分子方程块的切断
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方程组的分隔
将方程组表示为布尔矩阵，行为函数，列为变量。 每行上仅圈一个变量为输出变量，每个变量仅被 圈出一次，并且任何一列没有一个以上的变量被 圈过。 用有向信息流图来表示方程间的关系。 用树搜索法搜索环路。 用组合结点简化有向信息流图。 判别图中有无入度为零的结点。继续简化判断。
XN
i 1
X
i
A
A
i
1
i
X
i
B
i
A
i
1
B i X L
可见非线性方程组可化为线性方程处理
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6 非线性方程组迭代解法
基本迭代法
同时修正法——Jacobi法 逐次修正法一Gauss－Seidel法 逐次超松弛法一SOR法 迭代收敛判据的选择
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3 联立方程组中微分方程的处理
直接求解含有部分微分方程的联立方程组有困难。 解决的办法： 1）将含有微分方程的方程块，包括边界条件（代数形式 的或微分形式的）分隔独立出来，用数值积分的方法求 解。 2）将微分方程，包括导数形式的边界条件，改写成差分 方程，或直接从严格微分模型开发近似代数模型。这类 替代微分模型的近似代数方程组都必须在迭代收敛过程 中随时更新其方程参数，以保持各迭代点附近近似模型 与严格模型的等效性。
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1、2 过程系统数学模型的特点及建立
特点
高维大型非线性方程组 方程组性质的复杂性 方程组的稀疏性 变量初值设定的困难性
建立
单元操作的数学模型方程组 系统单元间关系连接流方程组
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第五章 联立方程法
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不可再分子方程块的切断
将方程组表示为 关联矩阵。 在关联矩阵中圈出行中非零元素最少的某一变量为切断变 量。 删除切断变量所在列和该列非零元素所在行中其他非零元 素所在列的变量及方程，得到简化关联矩阵。 若某行仅一个非零元素，则该非零元素所在行方程可单独 求解，得该非零元素所在列的变量，删除该非零元素所在 的行和列得简化关联矩阵。 同理重复上述步骤，直到关联矩阵为零列。 按删除顺序可计算得各变量，最终计算得切断变量，并与 初值比较，是否一致，作为修正切断变量假设值的依据。 重复以上过程，直至满足收敛要求。
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8 联立方程法的潜在优势
以空间及应用数学的技术换取时间。联立方程法较序贯 模块法需要占用大得多的存储及运算空间，采用更为复 杂、精巧的数值运算方法以及编程技巧，但前者可以解 决一些序贯模块法难于收敛甚至根本不能收敛的系统模 拟问题。 联立方程法中各方程的地位相对平等，对于流程修改、 系统结构改变的适应性较强。 自动初始化设定初值算法逐步完善，使联立方程法成为 可行。 联立方程法中方程中变量地位相对平等，这样对于不同 的模拟要求——求解模拟问题、设计型问题，只需改变 决策变量的选择。 选择适当决策变量，使方程组降解，容易求解。
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第五章 联立方程法
要点： 1）联立方程法与序贯模块法的比较。 2）求解大型非线性方程组时分隔、切断的对象分别 是什么？ 3）基本选代法与消去法求解非线性方程组的比较。 4）随机填充存储法用于稀疏矩阵运算的优点。 5）迭代改进法的思路。 6）如何兼顾解的精度与稀疏性的保持。
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