矩阵理论与方法的应用

总 产出
x1 x2 xn
4
投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
量，x1 j(j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、
政府使用、出口和社会储备等）为 y j
的aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并
称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。 9
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 中间消耗
投入
123
中 1 100 25 30
间 投
2
80 50 30
入 3 40 25 60
净产值
总投入 400 250 300
性质7.2.2
n
aij 1 j 1,2, , n
11
i1
由直接消耗系数的定义xij aij x j，代入(7-17)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
3
表7.1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
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二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作aij i, j 1,2, , n 。
由定义得
aij
xij xj
i,
j
1,2,
,n
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(7-18)
yn ，
(7-18)式可表示为 AX Y X ，或
E AX Y
(7-19)
Baidu Nhomakorabea
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
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类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(7-14)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
最终需求
235 125 210
解
0.75 0.1 0.1
E A 0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
15
0.63 0.09 0.09
E
A1
1 0.4455
0.17
0.59
0.095
0.1 0.085 0.58
X E A1Y
0.63 0.09 0.09 235 400 0.414550.17 0.59 0.095125 300
2
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运
用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
x2n
y2
x2
xn1 xn2 xnn yn xn
(7-11)
n
xij yi xi i 1,2, , n
j 1
(7-12) 6
需求平衡方程组：
n
xi xij yi i 1,2, , n j 1
(7-13)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这
个时期的总产出水平。
5
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (7-9)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
最终需求
总产出 400 250 300
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解
由直接消耗系数的定义
aij
xij xj
，得直接
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10
0.10 0.10 0.20
直接消耗系数 aij i, j 1,2, , n具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 aij 1 i, j 1,2, , n
第七章 矩阵理论与方法的应用
第二节 投入产出数学模型
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的
数学模型，该方法最早由美国著名的经济学 家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前 比较成熟的经济分析方法。
a12 x1
a22 x2
an2 xn
z2
x2
a1n x1 a2n x2 ann xn zn xn
写成矩阵形式为
(7-20)
X DX Z 或 E DX Z (7-21)
其中 D
diag
n i1
ai1
n
ai2
i1
n i1
ain
,
Z z1 z2 zn
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定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
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定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆
如果各部门的最终需求Y y1 y2 yn
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一
解 X x1 x2 xn 。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周 期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求 如表7.3，求各车间的总产值。
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表7.3
车间 直耗系数 车间
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
ⅠⅡⅢ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
x12 x22 xn2 z2 x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xij z j x j j 1,2, , n
i1
(7-14)
(7-15)
7
由(7-11)和(7-14)，可得
n
n
yi z j
i1
j 1
(7-16)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生
产的消费、积累、储备和出口等方面产品的