抛物线和几何图形

图2

A 图1

图3 抛物线与几何图形

一、抛物线与三角形 例1.△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，抛物线y ＝x 2－2ax +b 2交x 轴于两点M ，N ，交y 轴于点P ，其中M 的坐标是(a +c ，0).（1）求证：△ABC 是直角三角形.（2）若S △MNP ＝3S △NOP ，①求cos C 的值；②判断△ABC 的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND （D 为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由.

析:（1）因为抛物线y ＝x 2－2ax +b 2经过点M (a +c ，0)，所以(a +c )2－2a (a +c )+b 2＝0，即a 2＝b 2+c 2.由勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形.

（2）①如图1所示，∵S △MNP ＝3S △NOP ，∴MN ＝3ON ，即MO ＝4ON ，又M (a +c ，0)，∴N ,04a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭

， ∴a +c ，4a c +是方程x 2－2ax +b 2＝0的两根，此时两个为x 1，2

＝a

∴a +c +4a c +＝2a ，∴c ＝35a .由（1）知：在ABC △中，∠A ＝90°，由勾股定理得b ＝45a ，∴cos C ＝b a ＝45

. ②能.由（1）知y ＝x 2－2ax +b 2＝x 2－2ax +a 2－c 2＝(x －a )2－c 2，∴顶点D (a ，－c 2).过D 作DE ⊥x 轴于点E ， 则NE ＝EM ，DN ＝DM ，要使△MND 为等腰直角三角形，只须ED ＝

12MN ＝EM . ∵M (a +c ，0)，D (a ，－c 2)， ∴DE ＝c 2，EM ＝c ，∴c 2＝c ，又c ＞0，∴c ＝1. ∵c ＝3

5a ，b ＝45a ，∴a ＝53，b ＝43.∴当a ＝53，b ＝43

，c ＝1时，△MND 为等腰直角三角形.

说明 本题是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题，在第（2）小题中要求同学们先猜想可能的结论，再进行证明，这对同学们的确有较高的能力要求，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证.总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题.

二、抛物线与平行四边形 例2 如图2，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.

析（1）令y ＝0，解得x 1＝－1，或x 2＝3，所以A (－1，0)，B (3，0)；将C 点的横坐标x ＝2代入y ＝x 2－2x －3得y ＝－3，所以C (2，－3).所以直线AC 的函数解析式是y ＝－x －1.

（2）设P 点的横坐标为x (－1≤x ≤2)，则P 、E 的坐标分别为：P (x ，－x －1)，E (x ，x 2－2x －3).因为P 点在E 点的上方，PE ＝(－x －1)－(x 2－2x －3)＝－x 2+x +2，所以当x ＝12时，PE 的最大值＝94

.

（3）存在4个这样的点F ，分别是F 1(1，0)，F 2 (－3，0)，F 3

0)，F 4(4

0).

说明 本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计这几年仍会保持这一趋势.在本题中，第1小题较简单，第2小题则需同学们仔细观察图形，做出准确求解，第3小题对同学们的探究能力的要求更高一些，但由于解法直观，入题的通道较宽，因此难度并非十分大.

三、抛物线与矩形 例3如图3，已知抛物线P ：y ＝ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

（1）求A 、B 、出m 的取值范围；（3）当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：（2）若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积.

简析（1）由抛物线P 过点(1，－52)，(－3，52

-)可知，抛物线P 的对称轴方程为x ＝－1，又抛物线P 过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0)，B (－4，0)，C (0，－4) .

（2）由题意，AD AO ＝DG OC ，而AO ＝2，OC ＝4，AD ＝2－m ，故DG ＝4－2m ，又BE BO ＝EF OC

，EF ＝DG ， 得BE ＝4－2m ，所以DE ＝3m ，所以S DEFG ＝DG ·DE ＝(4－2m )3m ＝12m －6m 2 (0＜m ＜2) .

（3）∵S DEFG ＝12m －6m 2 (0＜m ＜2)，∴m ＝1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，

其顶点为D (1，0)，G (1，

－2)，F (－2，－2)，E (－2，0)，设直线DF 的解析式为

y ＝kx +b ，易知，k ＝23，b ＝－23， ∴y ＝23x －

23，又可求得抛物线P 的解析式为：y ＝12x 2+x －4

，令23x －23＝12

x 2+x －4，可求出x

. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N N 作x 轴的垂线交x 轴于H ， 有FN HE DF DE =＝23

3--，点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时， 此时k 的取值范围是k ≠ 且k ＞0. 若选择另一问题：（2）∵

AD DG AO OC =，而AD ＝1，AO ＝2，OC ＝4，则DG ＝2， 又∵FG CP AB OC

=，而AB ＝6， CP ＝2，OC ＝4，则FG ＝3，∴S DEFG ＝DG ·FG ＝6.

说明 本题是一道非常经典压轴题，有一定的难度，试题的图形看似比较平凡，好像没有什么创意，但仔细读题，你会发现本题的几个小问都问得很好，尤其是题目的最后部分，这几个小题环环相扣，一气呵成，此题着重考查了函数最值、矩形等知识。 四、抛物线与菱形 例4 已知圆P 的圆心在反比例函数y ＝k x

(k ＞1)图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点.且始终与y 轴相切于定点C (0，1).（1）求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形.