反三角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明
§ 反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可
导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可
导的，而且
)(1
)(y x f ϕ'=' (1)
证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆
由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y
于是
y x
x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y
)(11lim lim
00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式
().(arcsin )().()().(log )ln 11
1211312
2
x x arctgx x a x a x '=-'=+'=
证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在
)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在
)1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=
'
注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-=
因此，
211
)arcsin (x x -=' 证2 设x tgy =
，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)
tgy x = 在 I y 上单调、可导且
0cos 12>='y x 故
2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=
'
证3
a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=
' 类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1
11112
2
二、复合函数的求导法则
如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00
x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为
)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
证明：因)(lim
00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y 用0≠∆x 去除上式两边得：
x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0
由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：
00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00==→∆→∆ααu x
])([lim lim
000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α
)()(00x u f ϕ'⋅'=
即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：
若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应
的 u I u ∈，则复合函数])([x f y
ϕ=在I x 内可导，且 dx du du dy dx dy ⋅= (2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：
弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】}])([{x f y φϕ=，求 dy dx
引入中间变量， 设
v x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =()
变量关系是
y u v x
---
，由锁链规则有：
dy
dx
dy
du
du
dv
dv
dx
=⋅⋅
(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。

还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

【例3】求
y x
=sin2
的导数
dy
dx。

解：设u x
=2，则y u
=sin
，u x
=2，由锁链规则有：
dy
dx
dy
du
du
dx
u x u x
=⋅='⋅'=⋅=
(sin)()(cos)cos
2222
【例4】设
y tg
x
=ln
2，求
dy
dx。

由锁链规则有dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅
⋅
=
2
1
cos
1
1
2
⋅
⋅
=
v
u(基本初等函数求导)
2
1
2
cos
1
2
1
2
⋅
⋅
=
x
x
tg
( 消中间变量) x
sin
1
=
由上例，不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：
)
2
(
2
cos
1
2
1
)
2
(
2
1
)
2
ln
(
2
'
⋅
⋅
=
'
⋅
=
'
=
x
x
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
dx
dy
x
x
x
tg
x
x
x
tg sin
1
2
2
cos
2
1
)
(
2
1
2
cos
1
2
1
2
2
=
⋅
⋅
=
'
⋅
⋅
⋅
=
【例5】证明幂函数的导数公式
1
)
(-
⋅
='μ
μμx
x
，(
μ
为实数)。

证明：设
y x e x
==⋅
μμln
1
ln
ln
1
)
ln
(-
⋅
=
⋅
⋅
='
⋅
='μ
μ
μμ
μ
μx
x
e
x
e
y x
x。