图论第二章和第四章的课后习题

图论第二章和第四章书后练习题

2.2 给出满足下列条件的图或说明这样的图为什么不存在 (a)没有奇点的图。

(b)所有顶点的度为三的图。

(c)阶至少为5的图G ,且对于G 中任意两个邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。

(d)阶至少为5的非完全图H ,且对于H 中任意两个不邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。 解：（a ）

（b ）

(c)

(d)

2.4 给出一个阶为6且边数为10的图G ,满足.4)(,3)(=∆=G G δ 解：所求图如下所示：

2.6 在一个阶为)1(3≥n n 的图中，若度为n n ,1-和1+n 的顶点数个数均为n ，则n 必为偶数。

证：∵n-1+n+n+1=3n;

∴图中仅有度为n+1,n,n-1三种度的顶点

∑deg(v)=(n-1)n+n*n+(n+1)n=3n

2

由图论第一定理知，3n 2

为偶数 则n 为偶数。

2.8 设G 为n 阶图，若对G 中任意三个互不邻接的顶点v u ,和w ，都有

u deg ,1deg deg -≥++n w v 则G 一定是连通的吗？

解：不一定，如下图：

2.10 我们已经知道，若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足

,2deg deg -≥+n v u 则G 可能不连通。

(a) 证明：存在n 阶的连通图G ，它满足：对G 中两个任意不邻接的顶点u 和v ，都有,2deg deg -≥+n v u 且G 有两个不邻接的顶点x 和y ，使得y x deg deg +=2n -。 (b) 证明：若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足,2deg deg -≥+n v u 则G 至多有两个连通分支。 (c) (b)中的界是紧的吗？

（a ）证：假设deg deg 1u v n +≤-，则由定理4可知G 不是联通的，这与已知矛盾。 ∴原结论正确。

（b ）证：假设存在G1，G2,G3 三个连通分支，其阶数分别为n1,n2,n3,且n1+n2+n3≤n;

取u ∈G1 v ∈G2

12123()()()()1123G G G G d u d v d U d v n n n n n +=+≤-+-≤--≤- 矛盾！

∴至多有两个连通分支 (c)是的

2.12证明：若n 阶图G 满足1)()(-≥+∆n G G δ，则G 是连通的，且4)(≤G diam 。并证明：界1-n 是紧的。 证：(反证法)

假设存在满足条件的n 阶不连通图G 。设2,1G G 分别为G 的两个子图，阶数分别

为2,1n n

则：

2

)

12()11()()(-≤-+-≤+∆n n n G G δ

与条件矛盾。 2.14 证明：若图G 的任意一条边都连接一个奇点和一个偶点，则G 是二部图且有偶数条边。 证：以G 中所有的奇点为元素作集合U ；

以G 中所有的偶点为元素作集合W

∵G 中的每条边分别连一个奇点一个偶点

∴G 的每条边必连接U 中的一个顶点和W 中的一个顶点 于是G 是二部图，U 和W 为其的部集

2.16 证明：对于阶为)512(12≥++n n 的图G ，若G 的每个顶点的度或为1+n 或为2+n ，则G 包含至少1+n 个度为2+n 的顶点或至少2+n 个度为1+n 的顶点。 证：（反正法）

假设G 之多包含n 个度为n+2的顶点，则其余n+1个点的度均为n+1

那么d ()(2)(1)(1)G v n n n n =++++=2n 2+4n+1为奇数 这与图论第一定理矛盾

同理可证至少含有n+2个度为n+1的顶点

2.18 设8阶图G 的顶点集为{}8,,2,1)(v v v G V =，若)71(deg ≤≤=i i vi ，试求8deg v ，并给予解释。

解：由已知77deg ,66deg ,55deg ,44deg ,33deg ,22deg ,11deg =======v v v v v v v 则可以得到下图：

由图上可看出8deg v =4

2.20证明若图G 是非正则的连通图，则G 包含两个邻接顶点,,v u 使得u deg v deg ≠。 证: 假设G 不含有两个邻接点u 和v 使得v u deg deg ≠

则可得到)()(G G δ=∆这与已知G 是非正则图矛盾！ ∴G 包含两个邻接顶点,,v u 使得u deg v deg ≠

2.22对于图所示的图G ，构造一个含G 作为诱导子图的3正则图H

(a) 利用定理2.7的证明方法，H 的阶是多少？ (b) 若要使H 有最小的阶，则阶是多少？ △(G)=3 , ()1G δ=图1G 如下所示：

∵11()3()2G G δ∆==图H 如下所示：

H 的阶数为20

2.24如图所示的图G ，H 是包含G 作为诱导子图的3正则图，那么H 的阶最少为多少？

G ：

解：H 的阶最小是8，如下图：

2.26.证明：（a ）图G 是正则的当且仅当G 是正则的。 (b)若G 与均是正则的，则G 具有奇数阶。 （a ）证：必要性：

设G 是n 阶的r 正则图

∵()()V G V G = ()()E G E G = ∴G 与G 构成n 阶的完全图

G 是r —正则的而n 阶完全图的每个顶点的度为n-1 则G 每个顶点的度为n-1-r ∴G 是正则的。 充分性：同理可证。

（b ）证：设G 是n 阶的r 正则图 G

G 为n 阶r 正则图

又∵G 为r 正则，则G 每个顶点的度为n-1-r 题知G 为r 正则 ∴n-1-r=r 则有n=2r+1 ∴G 为奇数阶