选修1-1导数及其应用(讲义)

导数及其应用

1.函数f(x) 的导函数的定义

2. 导数的几何意义 函数f(x)在x

X 。处的导数f (X 。)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(X 。,

f (x 0))处的切线的斜率•

3. 基本初等函数的导数公式

4. 导数的运算法则

[f(x)g(x)] f (x)g(x) f(x)g (x) ； [cf(x)] cf (x)

[f(x)] L(x)g(x) f(x)g(x) [

g(x)] 5. 函数的单调性与导数

函数y=f(x)在某个区间

(a, b)内可导.若f ' (x)>0 ,则f(x)在这个区间

内单调递增；若f ' (x)<0 ,则f(x)在这个区间内单调递减. 6. 函数的极值与导数 (1)函数极小值

函数y=f(x)在点x=a 处的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都 小 则点x=a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

函数f

(X )在点x=a 处取极小值的特点:

①f' (a)= 0; (2)函数极大值

函数y=f(x)在点x=a 处的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都

f (x)

lim x 0 x

if

x 0

X ) f(x) X

(1)f(x)=c(c 为常数)，则f

(X )

(2)f(x)=x

"，则

f (X)

(3)f(x)=sin x,则 f (x) cosx ； (4) f(x)=cos x,则 f (x) sin x

(5)f(x)=a

，则 f (x) a

x

ln a ；

(6) f(x)=e

，则 f (x)

(7)f(x)=log

a

X ，则 f (X)

(8) f(x)=ln x ，则 f

(X )-

X

(1)

[f(x) g(x)] f (x) g(x)

(2) (3) [g(x)]2

②在点x=a 附近的左侧f ' (x)<0,右侧f ' (x)>0 .

则点x=a 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值.

函数f

(X )在点x=a 处取极大值的特点：

①f ' (a)= 0;

②在点x=a 附近的左侧f' (x)>0,右侧f ' (x)<0 .

7. 求可导函数极值的步骤 (1) 求导数f ' (x);

(2) 求方程f ' (x)=0的根；

(3) 列表，检验f' (x)在方程f' (x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根 左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大 值•如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值 •如果左右两

侧符号一样，那么这个根不是极值点•

8. 求函数y=f(x)在闭区间［a,b ］上的最大值与最小值的步骤 ：

(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;

⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值

f(a),f(b) 比较，其中最大的一个

为最大值,最小的一个为最小值•

基础巩固：

1.

如果一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中s 的单

位是米,t 的单位是秒，那

么物体在3秒末的瞬时速度大小是 ______________ .

5.已知函数f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1)) 处的切线过点(2,7),则

a= _______________

2

6. 抛物线y x 上的点到直线x y 2 0的最短距离为 ____________

8. 函数f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是 __________________ . 9. 函数 f(x)=3x-4x ,x € ［0,1］的最大值是 __________ . 10.

已知a>0,函数f(X

) x ax 在［1,+ m )上单调递

增，则a 的最大值是 例题讲解

4.已知 f(x)=x 2

+2xf '(

1

-),则 f '(

3

1

-)= ___________

3

7. 函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f ' (x)的图象可能是(

)

例1求下列函数的单调区间•

2 x In x

(1)f(x)=(1+x )e -a; (2)f(x)=

X

变式训练:

求函数f(x)=3+xln x 的单调递减区间

2 11

例2若函数f(x)=x +ax=在(穿,+ g)上是增函数，求a的取值范围

变式训练：

1

2

1

已知函数f(x) x 2ax Inx,若f(x)在区间［一，2］上是增函

2 3

数,求实数a的取值范围.

例3设f(x)=2x 3+ax2+bx+1的导数为f' (x),若函数y=f ' (x)的图象关于直线 x=- 1对称,且 f ' (1)=0.

2

(1)求实数a,b的值；⑵求函数f(x)的极值.

变式训练：

_ 3 _ 一.

已知函数f(x)=ax +bx+c在点x=2处取得极值 c-16.

(1)求a、b的值；

⑵若f(x)有极大值28,求f(x)在［-3,3］上的最小值.

课后作业：

1.函数 f(x)=xIn x, 则()

A.在(0,+ g)上递增

B.在(0,+ g)上递减

C.在(0,「)上递增

D.在(0,；)上递减

2. _________________________________________________ 函数y=xe x在点(1,e )处的切线方程为____________________________________

3. ___________________________________________________________ 函数f(x)=- 4(a

4. 函数f(x)=ax 3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()

(A) a>0,b<0,c>0,d>0

(B) a>0,b<0,c<0,d>0

(C) a<0,b<0,c>0,d>0

(D)a>0,b>0,c>0,d<0

5.设函数f(x)= 2

+ln x,则(

x

) 71

(A)x= 1为f(x)

2 的极大值点(B)x=

-为 f(x)

2

的极小值点

(C)x=2 为 f(x) 的极大值点(D)x=2 为 f(x) 的极小值点

6.函数y=xe的最小值是____________ ,

3 2

7. 已知函数 f(x)=-x +mx-3x-1 在区间

［1,3］上是增函数

8. 若函数 f(x)=x 3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数 b的取值范围是

9. 已知f(x)=2x 3-6x 2+a(a是常数)在［-2,2］上有最大值11,那么在［-2,2］上,f(x)

,则m的取值范围是