概率与数理统计 第六章-1-总体与样本+统计量

样本与样本观察值都称为样本。
定义1.1 从总体X中抽出若干个个体而成的 随机向量(X1,X2,…,Xn)称为来自总体X的样本； 称样本观察值(x1,x2,…,xn)为样本值；样本 所含个体数目n称为样本容量 .
(3) 简单随机样本 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息, 且讨论简单，要求由总体X随机抽取的样本 X1,X2,…,Xn满足下面两个条件: ①代表性: Xi与总体X的分布相同; ②独立性: X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量. 称满足上面两个条件的样本为简单随机样 本。
m ,方差为 s2 的总体X的样本，则当n充分大
时, 近似地有
X～N
m,
s2
n
.
证明：因X1,X2,…,Xn是来自均值为m ，方差
为s2 的总体的样本。故 X1,X2,…,Xn 独立同
分布, 且 E(X)=m，D(X)=s2, i=1,2,…,n。
据中心极限定理，有
例1 若总体X ～N( m , s2 ) , 则称总体X称为 正态总体。
样本X1,X2…,Xn的联合概率密度为
( ) f
x1, x2,L xn
n
1
e
1 2
xi m s
2
i1 s 2
( ) f
x1, x2,L
xn
n
1
e
1 2
xi
s
m
2
i1
s
s
1
2
2
n
e
1
2s
2
n
( xi m )2
i 1
一、 总体与个体
一、 总体与个体 1.总体与个体
在数理统计中，称研究问题所涉及对象的 全体为总体，总体中的每个成员为个体。
例如: 研究某种电子产品的寿命，则这种 电子产品的全体就是总体，而每件电子产品都 是一个个体。
实际上，我们真正关心的并不一定是总体 或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某 项数量指标。
后面讨论的样本都是简单随机样本。
三、样本分布
设总体X的分布函数为F(x),则简单随机样
本X1,X2 ,…,Xn的联合分布函数为:
F(x1, x2,L
, xn )
F
n
(x1)F
(
x2
)L
F(xn )
并称其为样本分布.
F (xi )
i 1
1. 若总体为离散型随机变量,其概率分布为,
P{X=x}=p(x ) ,x取遍X所有可能取值, 则样本
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高 气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。
而总体的某项数量指标一般都具有随机 性，是一个随机变量的所有可能取值，因此 我们有定义：
定义 称随机变量X为总体,X的每一个可 能取值x称为个体,并称X的分布为总体分布。
定义 称随机变量X为总体,X的每一个可能 取值x称为个体,并将X的分布称为总体分布。
例2 如果总体X服从以为参数p的0-1分布，
即 PX 1 p, PX 0 1 p PX x (1 p)1x px x 1 ,0.
则样本X1,X2…,Xn的联合概率分n 布为：
PX1 x1, X2 x2,L , Xn xn P{X i xi}
n
i1
( )
n
xi
P{X xi} p i1
n
1
p
n xi
i 1
i1
第三节 抽样分布
一、 统计量 由样本推断总体的情况时，需要集中样
本的信息，即构造样本函数来推断总体。 定义 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，
称样本的任一不含总体分布中未知参数的函 数为统计量.
※ ① 不含总体分布中未知参数.
② 不含总体分布中未知参数.
※ 几个常见统计量 E(X ) m,D(X ) s 2.
X1,X2 ,…,Xn的概率分布为
n
p(x1, x2,L , xn ) p{X1 x1, X2 x2,L , Xn xn} p(xi ),
i1
2. 若总体X为连续型随机变量,其概率密度 为f(x), 则样本X1,X2…,Xn的联合概率密度为
n
f (x1, x2,L , xn ) f (xi ) i1
如：某一批电子产品的使用寿命X 为一个 总体，每个电子产品的寿命就是一个个体。
为了推断这批电子产品寿命X的分布或 平均寿命等，需要从总体中抽取部分个体， 我们称由总体抽取的部分个体为样本。
二、 样本
二、 样本 什么是样本呢？
设总体X 是一批电子产品的寿命，从 这批产品中随机抽取n件.
(1)考虑可能出现的情况
设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，有统计量
1.
m, 2.
样本均值 X
E(X )
样本方差 S 2
1 n
n i 1
Xi
D(Xn )
1n
(
n 1 i1
Xi
s2.
n
X )2
反映总体 均值的信息
※ 若令Yi=aXi+b , 则
Y aX b
,
SY2
a
2
S
2 X
3.样本标准差
S
1 n 1Biblioteka Baidu
随机抽取的第i件都可能是这批产品中 任一件，其寿命是一个随机变量，用Xi表示。 所以，抽取n个个体的样本可能值是n个随机
变量X1 ,X2 ,… , Xn，作为一个整体称为一个
样本。
(2)考虑一次具体抽样的情况
一次具体抽样，抽取出n个电子产品，其 寿命是n个数值 x1, x2,… , xn, 作为一个整体 称为样本，也称为样本X1,X2…,Xn的一组观 察值。
2．方法：部分推断整体。
3．数理统计的内容： 参数估计，假设检验，方差分析，回归 分析等。
我们主要讨论：参数估计，假设检验。
第一节 总体与样本
随机现象具有统计规律性, 故理论上只要 对随机现象进行足够多次观察, 则研究对象的 规律性就一定能清楚地呈现出来。 但实际上 常常无法对所研究的对象的全体(或总体) 进 行大量观察, 而只能抽取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的数据.
概率论与数理统计
张保田 第六章 样本及抽样分布
数理统计学是一门应用性很强的学科。 它以概率论为理论依据，研究怎样以有效 的方式收集、 整理和分析带有随机性的数 据，对所考察的随机现象作出正确的推断 和预测，为采取正确的决策和行动提供依 据和建议。
1．研究对象：推断随机变量的分布或分 布中的参数；
n i 1
(Xi
X
)2
4. 样本 k 阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
5. 样本 k 阶中心矩
Mk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
k=1,2, …
二、 抽样分布
统计量为样本的函数，样本是随机变量， 故统计量也是随机变量，称统计量的分布为 抽样分布。
定理1：设 X1,X2, …,Xn是来自均值为