初中数学九年级下册利用二次函数求方程的近似根

2.5 二次函数与一元二次方程

第2课时利用二次函数求方程的近似根

学习目标:

体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．

学习重点:

本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．

学习难点:

应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．

学习过程:

一、实例讲解：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么

(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

二、议一议：

在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：

(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

三、例题：

【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．

【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．

四、随堂练习：

1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．

（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．

2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

五、课后练习：

1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．

3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过

象限．

4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．

5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=

．

6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．

7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．

8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．

9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．

10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．无 11．如图1所示，函数y=ax

2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b

a c a c

b

c b a +++++的值是（ ） A ．－3

B ．3

C ．21

D ．－21

12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，

则下列关系正确的是（ ）

A ．0＜－a b 2＜1

B ．0＜－a b 2＜2

C ．1＜－a b 2＜2

D ．－a

b 2=1 13．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．

14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．

（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．