第四章 单端口网络和多口网络

4.2.3 级连网络 ABCD参量特别适合于描述级连网络，例如图4.9所示的双晶 体管配置。在此例中，第1个网络的输出电流与第2个网络的 输人电流在数值上相等，符号相反(即 iˊ i1〞 )。第1 = 2 个网络输出端口的电压降V2ˊ等于第2个网络输人端口的电 压降 V1ˊ 所以，可以写出如下关系:
in Ynm |vk 0( k m) vm
对比公式(4.2)和公式(4.5)，显然阻抗矩阵与导纳矩阵互为倒数:
例题4.1 形网络的矩阵参量 如图4.2所示，已知 形网络(由于网络的形状类似于希腊字 Z 母 而得名)由阻抗 Z A , Z B 以及 C 构成，求解该网络的阻抗 矩阵和导纳矩阵。
其中 v AB 是串联阻抗 Z A 和 Z B 上的电压降。其值为 。所以
同理，我们可以得到其他两个阻抗矩阵元素:
所以，任意
形网络的阻抗矩阵可以表示为:
导纳矩阵元素可以利用(4.7)式导出。求解Y11 必须求出在2 端口短路的条件下(即 v2 0 )，1端口电流与2端口电压 的比值。
导纳矩阵元素Y12 的值为1端口电流 i1 与2端口电压 v 2 的比值， v1 )。必须注意，当2端口的 0 此时要求1端口短路(即令 电压为正值时，1端口的电流是流出的，即电流为负值:
第四章 单端口网络和多端口网络
自从Guillemin和Feldkellerz。在电子工程专业领域中引入 单端口及多端口网络模型以来，在重组和化简复杂电路以 及深入研究有源、无源器件的特性方面，这些网络模型已 成为不可缺少的工具。不仅如此，网络模型的重要意义已 经远远超出了电子工程学科，甚至影响到结构工程、机械 工程以及生物医学中的振动分析这些完全不同的领域。例 如，三端Cf网络就非常适合于描述医学压电传感器及其机 电转换机制。 网络模型的众多优点包括可以大量减少无源、有源器件数 目;避开电路的复杂性和非线性效应;简化网络输人、输出 特性的关系;其中最重要的是不必了解系统内部的结构就可 以通过实验确定网络输人、输出参数。这种所谓“黑盒子
例题4.1表明，阻抗矩阵和导纳矩阵都是对称的。一般说来， 线性、无源网络都是如此。无源的意思是指不包含任何电流 源或电压源。对称网络的数学表达为:
Znm Zmn
根据(4.9)式，导纳矩阵同样有此关系。事实上，可以证明任 何互易网络(即无源、线性)且无耗的N端口网络都是对称的。 除了阻抗和导纳网络参量以外，根据电压和电流参考方向 的不同规定，还可导出两套更有用的参量。就两端口网络而 言，根据图4.1，可以定义ABCD参量矩阵〔级连矩阵)
由于例题4.2中出现了电流源,h参量矩阵就不再是对称的h12 h21 }
而且晶体管模型也不是互易的。在低频电子电路设计中，h参 量矩阵元素通常用 hie 表示 h11, hre 表示 h12， h fe 示 表 h21 hoe 表示 h22 。 到此为止，我们考虑的问题是，在已知电路拓扑结构和电
用(4.12)式除以(4.13)式，可知基极－集电极电阻等于 hie 比 hre 。所以根据已知条件，可得： 。 将 rBC 代入(4.12)式或(4.13)式，可以求得 . 求出 rBC 和 rBE 以后，根据可求得电流放大系数
.
然后根据(4.15)式就可求得集电极－发射极电阻：
根据我们求出的数据可见 rBE
根据ABCD参量的定义(4.10)，可求出C元素和D元素：
ABCD参量矩阵元素的求解方法与前面介绍的Z参量，Y参量 和h.参量矩阵元素的求解方法相类似。 这些元素的求解精度同样与实际能够实现的开路、短路终端 条件的近似程度有关。
下面的例题求出了无源T形网络的ABCD参量矩阵。在求解
各元素时，需要借助于串联及并联阻抗的ABCD参量矩阵。 例题4.5 求解T形网络的ABCD参量矩阵
和h参量矩阵(混合矩阵)
这些矩阵元素的计算方法与前面介绍的阻抗矩阵、导纳矩阵 元素的计算方法完全相同。例如，欲求解(4.11)中的 h12 ， 令i1 为零并计算 v1 与 v 2 比值即:
位得注意的是，h.参量矩阵元素h21 .和 h12 分别定义了正向电 流和反向电压增益，另外两个元素确定了网络的输人阻抗( ) h22 和输出阻抗( )。正是由于h参量的这些特性，它经常被用 h11 于分析低频晶体管模型。下面的例题将介绍如何导出低频双 极结晶休管(BJT)的h参量矩阵。 例题4.2 双极结晶体管( BJT)的低频h参量 如图4.3所示，采用h参量描述共发射极连接的低频、小信号 BJT模型
整个网络的ABCD参量矩阵等于各个网络ABCD参量矩阵 的乘积。
图4.9
两个网络的级连
4.2.4 ABCD网络参量小结 在以后的章节中我们将看到，微波电路通常叫以采用简.单网 络的级连方式表达。因此，导出简单两端口网络的ABGD参 量表达式是非常重要的，这些两端GJ网络可用作构成更复杂 电路的基本单元。在这一小节中，我们将求解几个例题，包 括导出传输线、串联阻抗以及无源T形网络的ABCD参量矩阵。 其他常用的电路，如并联导纳、无源 形网络以及变压器等， 将留作本章末尾的习题(见习题4.10～4.I2)。全部计算结果都 列在本小节末尾的表4.1中。 例题4.4 阻抗元件的ABCD参量 求解下面图中网络的ABCD参量:
Z nm
Vn |ik 0( fork m ) im
这表明，当第m端口的输人电流为 i0 而且其他端口均为开 路状态(即 k m, ik 0 )时，第n端口测得的电压是 vn 。 采用电压作为自变量，则电流可以表示为:
或
其中，与公式(4.4)类似，我们定义导纳矩阵(Y矩阵)的元素为:
解:根据(4.10)式的定义，欲求解A元素，必须在2端口电流 为零的情况下(即2端口开路)，求出1端口电压降与2端口电 压降的比值。在此情况下，显然所考察的电路的两个端口 电压相等:
为求解B元素，必须在2端口短路的情况下，求出1端口电压 降与2端口输人电流的比值。根据电路的拓扑结构，这个比 值等于阻抗Z:

解: 阻抗矩阵元素可以在适当的开路、短路终端条件下利用 (4.4)式求得。 求解Z11 必须求出在2端口电流为零的条件下，1端口电压降 v1 与1端口电流 i1 的比值。2端口电流为零的条件 i2 0 等价于 终端开路条件。所以，阻抗Z11 等于阻抗Z A 和 ZB ZC 的并联:
Z12 的值就是1端口的电压降 v1与2端口电流 i 的比值。此时 2 必须保证1端口的电流 i1 为零(即1端口必须开路)。1端口电 压降 v1 等于阻抗 Z A 上的电压，可以通过分压定律求得:
根据类似的步骤，可以导出其他3个人参量矩阵元素的表达式:
大多数实用晶体管的电流放大系数R都是远远大于1的，而 且集电极一发射极电阻也远远大于基极一发射极电阻。根据 这些情况，我们可以简化晶体管的上述h参量矩阵元素表达 式:
采用h参量描述BJT是我们经常要用到的方法，BJT的技术 参数表中通常会给出其h参量。
方法对主要从事电路整体功能研究而不分析电路中单个器 件特性的工程师们具有很大的吸引力。“黑盒子”方法对 于射频和微波电路是特别重要的，因为在射频和微波电路 中，麦克斯韦方程组的完全场解不是极难得到就是结果过 于复杂而不便应用，例如在滤波器、谐振器和放大器的实 际工程设计中一样。 在下面几节中，我们的口标是建立基本网络的输人、 输出参数关系，如阻抗参参量、导纳参量、h参量以及 ABCD参量，然后导出它们之间的换算关系。我们将给出 网络连接的规则，即如何用单个网络单元通过串联和并联 的级连方式构成较复杂的电路。最后，还要介绍散射参量， 它是通过功率波关系分析射频及微波电路与器件的重要实 用方法。
例题4.3根据BJT的h参量测量数据，求其内阻和电流增益 根据图4.3所示的双极晶体管等效电路，利用h参量的测量数 据: (摩托罗 拉2n3904晶体管测试参数)。求内阻 rBE , rBC , rCE 和电流增 益 解:与例题4.2方法相同，图4.3所示等效电路的h参量矩阵元 素由以下4个方程给出:
2端口： 和N端口:
由此可见，每个端口n不但受到本端口阻抗Z nm 的影响而且也 受到其他所有端口阻抗线性叠加效果的综合影响。如果采用 更简单的符号,(4.1) 式可以变换成阻抗矩阵(Z矩阵)形式:
或矩阵符号表达式:
其中Iv|和|I|分别是电压矢量v1,v2,..vn和电流矢量 是阻抗矩阵。 公式(4.2)中的每个阻抗元素可以通过以下规则求得:
如图4.6所示，当两个网络输出端口交叉连接时，采用h参量 描述最为合适。 当两个网络采用图4.b所示方式相连接时，输人端口的电压和 输出端日的电流都符合叠加关系(即 和 )，而输出端口的电压和输入端口的 电流则相等(即 和 ) 根据这些我们可以得到结论，整个系统的h参量等于单个网络 h参量的总和：
确实比 rBC
小很多。
此例题介绍了一种基本方法，即如何利用h参量的测量值 描述双极晶体管的电路模型。在第7章里，我们还将进一 步讨论根据实验数据“逆向”确定电路模型参数的原则。
4.2 互联网
4.2.1 网络的串联
图4.4是一对双端口网络相互串联的示意图。其中每个网络 都是用阻抗矩阵描述的。
图4.4 一对双端口网络的串联
路元件参数的情况’下导出矩阵参量。然而，在实际设计工作 中，更经常遇到的是其逆问题或者根据一些侧量数据求出未知 或不确定器件的等效电路。当器件的性能与其特定的工作条件 有关时，上述问题变得非常重要，而且在不同的电路工作状态 下评估器件的性能也是必要的。这时若采用等效电路的方法， 工程师就能够在不同的工作条件下，以合理的精度求得器件或 电路的响应。在下面的例题中，我们将根据已知的h参量矩阵 导出BJT的内阻。
其他导纳元素可用类似方法求得，则导纳矩阵的最终形式为:
其中
，源自文库
以及
。
直接计算表明，我们求出的阻抗矩阵和导纳矩阵确实存在互为 倒数的关系，这就证明了(4.8)式的正确性。 通过假设网络端口为开路或短路状态，可以很容易地测得全部 矩阵元素。然而，随着频率不断升高并达到射频界限，终端的 寄生效应则已不能忽略，此时必须采用其他测量方法。
图4.3共发射极连接的低频、小信号BJT模型 解:在图4.3所示的晶体管模型中，rBE , rBC 和 rCE 二分别为晶 体管的基极一发射极、基极一集电极、集电极一发射极之间 的电阻。电流源的电流取决于基极-发射极电阻上的电流 iB 如果根据〔4.10)式求解h参量矩阵元素 h11 ，必须将基极一集 电极短路，即令 V2 VCE 0 ,然后计算基极一发射极电压与基 极电流的比值。根据图4.3中的符号可知 h11 等于rBE 和 rBC 的 并联值: (输入阻抗)
如图所示，达林顿管 Q1 和 Q2 的就是这种连接方式的一个 例子。
图4.5 (a)串联中的短路情况；(b)采用变压器防止短路情况
4.2.2 网络的并联 一对用导纳矩阵 Y′和 Y〞表示的并联两端口网络如图4.8所 示，与(4.15)不同的是其中电流可以叠加：
而且新导纳矩阵由一单个导纳矩阵的总和定义:
4.1 基本定义
在开始进行网络分析之前，我们必须确定一些与电压、电 流方向和极性有关的基本规定。为此，我们确定了如图 4.1所示的基本规定。不管是单端口网络还是N端口网络， 电流的脚标指明了它将流人的相应网络端口，而电压的脚 标指明了测量该电压的相应网络端口。
Z 在确定各种网络参数的规则时，我们先根据双脚标阻抗参量 nm 建立电压一电流关系，其中n和m的取值从1到n。 各网络端口(n=1 ...... N)的电压为，1端口:
在此例中，每个电压可以相互叠加而每个电流保持不变。 其结果是:
其中新复合网络的[Z]表达式为:
由于可能发生短路，必须注意防止不加选择地将不同网络 相连。图4.5(a)显示了这种情况。如图4.5(b)所示，引人变 压器可以防止短路情况的发生〔、在此例中，变压器使第2 个网络的输人、输出端口相互隔离。然而，这种方法只能 适用于交流信号，因为变压器的作用是高通滤波器，它阻 断了所有直流分量。